この問題のように、平方完成がちょっと面倒なときには、このやり方が楽。

①の頂点の$x$座標は
${\displaystyle \frac{-(-4a)}{2\cdot a^2}=\frac{2}{a}}$
これが$1$以上$3$以下になればいいので、
$1{\displaystyle \leqq \frac{2}{a}\leqq 3}$
これを解いて、
$1{\displaystyle \leqq \frac{2}{a}}$
$a\leqq 2$ ${\displaystyle \frac{2}{a}\leqq 3}$
${\displaystyle \frac{2}{3}\leqq a}$ より、${\displaystyle \frac{2}{3}\leqq a\leqq 2}$である。

解答サ：２, シ：３, ス：２

問題文より$a\ne 0$なので、$x^2$の係数の$a^2$は、
$0<a^2$
となり、グラフは下に凸。
なので、②の不等式が解をもつためには、グラフが$x$軸と２点で交わればよい。

$D=(-4a{)}^2-4\cdot a^2\cdot b>0$
$D=$$4^2{a}^2-4a^{2}b>0$
$0<a^2$なので、両辺を$4a^2$で割って、
$D=$$4-b>0$
$D=$$b<4$
である。

解答セ：１, ソ：４

おすすめではないけれど、次のような解き方もできる。

①のグラフが図Ａのようになるので、
$\{\begin{array}{l}x=1\text{のとき、}y=0\\ x=3\text{のとき、}y=0\end{array}$
である。
①式に$x=1$，$x=3$をそれぞれ代入して、
$\{\begin{array}{l}{a}^2-4a+b=0\\ 9a^2-12a+b=0\end{array}$
この連立方程式を解く。

$-)9$$a^2-4a+b=0$
$\underset{―}{-)9a^2-12a+b=0}$
$-)$$-8a^2+8a=0$

より、
$a^2-a=0$
$a(a-1)=0$

$a\ne 0$なので、
$a=1$

これを上の式に代入して
$1-4+b=0$
$b=3$
となる。

解答タ：１, チ：３