以下の説明では、「または」を$\cup$、「かつ」を$\cap$とかく。

まず、復習から始めよう。

復習

$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$の逆は、$\mathrm{A}\Leftarrow \mathrm{B}$
$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$裏は、$\bar{\mathrm{A}}\Rightarrow \bar{\mathrm{B}}$
$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$の対偶は、$\bar{\mathrm{A}}\Leftarrow \bar{\mathrm{B}}$

だった。

なので、命題Ａの逆は、
「$x>2$」ならば「$x^2>2\cup x^3>0$」

解答ア：４, イ：０

対偶は、
「$\overline{x>2}$」ならば「$\overline{x^2>2\cup x^3>0}$」
となる。この$\overline{x^2>2\cup x^3>0}$の部分は、ド・モルガンの法則より
「$\overline{x>2}$」ならば「$\overline{x^2>2}\cap \overline{x^3>0}$」
と書きなおせる。これはさらに
「$x\leqq 2$」ならば「$x^2\leqq 2\cap x^3\leqq 0$」
となる。

解答ウ：５, エ：３

頭の中だけで考えると混乱するので、面倒でも数直線を描こう。
そのためにまず不等式を解く。

$x^2>2\cup x^3>0$は、
$x^2>2$
$x<-\sqrt{2},\sqrt{2}<x$
$x^3>0$
$x>0$
なので、図Ａの範囲になる。

また、$x^2\leqq 2\cap x^3\leqq 0$は
$x^2\leqq 2$
$-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$
$x^3\leqq 0$
$x\leqq 0$
となり、図Ｂの範囲である。

以上から、命題Ａとその逆，対偶を、それぞれ仮定を緑，結論を赤で数直線上に表すと、
命題Ａ

命題Ａの逆

命題Ａの対偶

ここで命題の真偽について復習をしておこう。

復習

命題「[仮定]ならば[結論]である」について、
真になるのは
[仮定]$\subset$[結論] [仮定]$=$[結論] のとき。
つまり、[仮定]が[結論]からはみ出してなければ真。

だった。

このことから、図Ｃは緑の範囲（仮定）が赤い範囲（結論）よりも広いので、偽。
図Ｄは緑の範囲が赤い範囲に収まっているので、真。
図Ｅは緑の範囲が赤い範囲よりも広いので、偽。
なので、真は命題Ａの逆だけである。

解答オ：１

アドバイス

命題と対偶の真偽は一致するので、この問題で対偶の真偽を確認する必要はないけれど、念のために説明した。