大学入試センター試験 2016年(平成28年) 追試 数学ⅡB 第3問 解説
(1)
領域
より、
より、
より、
である。
解答ア:2, イ:6, ウ:4
ここまでの内容をグラフにすると、図Aになる。
図Bより、17個。
解答エ:1, オ:7
ここからの問題文が理解しにくい人も多いと思うので、問題文の流れに沿って、考え方を解説しつつ解いてゆく。
図Bの赤い点を単純に数えてもいいんだけど、ちょっと数え方を工夫してみる。
まず、領域の左半分(ちょうど真ん中を含む。図Cの青い部分)に含まれる格子点の数を数える。
で、
まぁ、上の直線の傾きが
これを数列風に書き直してみる。
図Cの青い部分の格子点のうち、
とかける。
この数列の一般項は、
である。
解答カ:3, キ:1
以上より、格子点の和は、等差数列の和の公式を使って
となる。
じゃぁ
領域の左端は
なので、領域の左半分(ちょうど真ん中を含む)に含まれる格子点の数は、
アドバイス
項数は
この和
式Aより、
となる。
解答ク:6, ケ:5, コ:1
次は領域の右半分だ。
図Cを見ると、
このことから、
式Aより、
となる。
以上より、領域全体に含まれる格子点の数
である。
解答サ:1, シ:2, ス:4, セ:1
(2)
アドバイス
問題の四つの不等式を見ると、「うへ~。空間領域か」とか思うかもしれないけれど、この問題は領域を考える必要はない。
(1)の領域と(2)の不等式を見比べると、ほとんど同じだけど
なので、(1)の結果がそのまま使おう。
まず、
式Bは領域
といえる。
なので、
である。
解答ソ:7, タ:4
ここまでの計算で分かるように、
だといえる。
また、
この数列の一般項は
である。
この
あとは計算だ。
ついでに、
復習
だった。
計算にもどって、式B''と式Cより、
となる。
解答チ:3, ツ:2, テ:3, ト:2, ナ:1, ニ:0