大学入試センター試験 2016年(平成28年) 追試 数学ⅡB 第3問 解説

(1)

領域Dの各頂点は、境界線の方程式を連立させて求めよう。

図A
大学入試センター試験2016年追試 数学ⅡB第3問 解説図A

{y=0y=3x
より、(0,0)
{y=3xy=3x+12k
より、(2k,6k)
{y=0y=3x+12k
より、(4k,0)
である。

解答ア:2, イ:6, ウ:4

ここまでの内容をグラフにすると、図Aになる。

図B
大学入試センター試験2016年追試 数学ⅡB第3問 解説図B

k=1のときは、考えるよりも数える方が早い。
図Bより、17個。

解答エ:1, オ:7


ここからの問題文が理解しにくい人も多いと思うので、問題文の流れに沿って、考え方を解説しつつ解いてゆく。

k=1以外のときの格子点の数を考えるために、まずk=1のときにどのように数えたかを考えてみよう。
図Bの赤い点を単純に数えてもいいんだけど、ちょっと数え方を工夫してみる。

図C
大学入試センター試験2016年追試 数学ⅡB第3問 解説図C

まず、領域の左半分(ちょうど真ん中を含む。図Cの青い部分)に含まれる格子点の数を数える。
x=0の点(つまりy軸上の点)は、1個。
x=1の点は、4個。
x=2の点は、7個。
で、1+4+7なんだけど、これは初項が1,公差が3の等差数列じゃないかと気づく。
まぁ、上の直線の傾きが3なので、当然と言えば当然ではある。

これを数列風に書き直してみる。
図Cの青い部分の格子点のうち、x=jである点の数をajとすると、
a0=1
a1=4
a2=7
とかける。
この数列の一般項は、
aj=a1+(j1)3
aj=4+(j1)3
aj=3j+1式A
である。
aj=a0+(j1)3じゃないことに注意。

解答カ:3, キ:1

以上より、格子点の和は、等差数列の和の公式を使って
a0+a1+a2
=123(a0+a2)
=123(1+7)=12
となる。


じゃぁk=1以外の場合も考えてみよう。
k=1のときは領域のちょうど真ん中はx=2だったけど、これがx=2kになる。これは問題の最初に求めた。
領域の左端はx=0で変わらない。
なので、領域の左半分(ちょうど真ん中を含む)に含まれる格子点の数は、a0からa2kまで、項数にして2k+1項の和と考えられる。

アドバイス

項数は2k項ではなくて2k+1項。
a1からa2kまでが2k項。それにa0の1項を加えて、2k+1項である。

この和qは、等差数列の和の公式を使って、
q=a0+a1++a2k
q=12(2k+1)(a0+a2k)

式Aより、a2k=32k+1なので、
q=12(2k+1)(1+32k+1)
q=12(2k+1)(23k+2)
q=(2k+1)(3k+1)
q=6k2+5k+1
となる。

解答ク:6, ケ:5, コ:1


次は領域の右半分だ。
図Cを見ると、k=1のとき、領域の右半分(ちょうど真ん中を含まない。図Cの緑の部分)に含まれる格子点の数は、左半分よりa2だけ少ないことが分かる。
このことから、k=1以外の場合も考えると、右半分に含まれる格子点の数Sは、
S=a0+a1++a2k1
S=122k(a0+a2k1)
式Aより、a2k1=3(2k1)+1なので、
S=122k{1+3(2k1)+1}
S=k(6k1)
S=6k2k
となる。

以上より、領域全体に含まれる格子点の数pは、
p=q+S
p=(6k2+5k+1)+(6k2k)
p=12k2+4k+1式B
である。

解答サ:1, シ:2, ス:4, セ:1

(2)

アドバイス

問題の四つの不等式を見ると、「うへ~。空間領域か」とか思うかもしれないけれど、この問題は領域を考える必要はない。
(1)の領域と(2)の不等式を見比べると、ほとんど同じだけどkzに変わってて、1z2nってのが増えてる。
なので、(1)の結果がそのまま使おう。

まず、kzに変わったらどうなるか考えよう。
式Bは領域Dに含まれる格子点の数pの式だけど、pkの値によって変わる。なので、pkの式になってる。で、式Bより、k=zのとき
p=12z2+4z+1式B'
といえる。

n=1のときは1z2
なので、z=1のときのpz=2のときのpをたせば、n=1のときのrが求められる。

z=1のときのpp1z=2のときのpp2とすると、式B'より、
p1=1212+41+1 p2=1222+42+1 この和がrなので、
r=p1+p2
r=(1212+41+1)+(1222+42+1)
r=74
である。

解答ソ:7, タ:4


ここまでの計算で分かるように、p1p2は数列で、式B'がその一般項にあたる。つまり、
pz=12z2+4z+1式B''
だといえる。

また、rは、n=1のときのrr1n=2のときのrr2とすると、
n=1のとき、1z2より、r1=p1+p2 n=2のとき、1z4より、r2=p1+p2+p3+p4 とかける。これも数列だと気づく。

この数列の一般項は
rn=p1++p2n
rn=z=12npz式C
である。
このrnが、問題で最後に問われているrだ。


あとは計算だ。
ついでに、の公式を復習しておこう。

復習

k=1nk=12n(n+1)
k=1nk2=16n(n+1)(2n+1)
k=1nk3={12n(n+1)}2
k=1nrk=r(1rn)1r(r1)

だった。

計算にもどって、式B''と式Cより、
r=rn
r=z=12n(12z2+4z+1)
r=12z=12nz2+4z=12nz+z=12n1
r=12162n(2n+1)(22n+1)
            +4122n(2n+1)+2n
r=2n{2(2n+1)(22n+1)+2(2n+1)+1}
r=2n(16n2+16n+5)
r=32n3+32n2+10n
となる。

解答チ:3, ツ:2, テ:3, ト:2, ナ:1, ニ:0