$\sqrt{16}<\sqrt{21}<\sqrt{25}$
なので、
$4<\sqrt{21}<5$
だから、$\sqrt{21}$の
整数部分は$4$
小数部分は$\sqrt{21}-4$

解答キ：４

$\sqrt{23}$と$\sqrt{31}$でも同じように考えて、
$\sqrt{23}$の小数部分は$\sqrt{23}-4$
$\sqrt{31}$の小数部分は$\sqrt{31}-5$

いったんまとめよう。
$a=\sqrt{21}-4$
$b=\sqrt{23}-4$
$c=\sqrt{31}-5$

なので、
$a-c=\sqrt{21}-4-(\sqrt{31}-5)$
$a-c$$=1+\sqrt{21}-\sqrt{31}$

解答ク：１

$(1+\sqrt{21}-\sqrt{31})(1+\sqrt{21}+\sqrt{31})(9+2\sqrt{21})$
については、普通に展開するほかない。
$=\{{(1+\sqrt{21})}^2-{\sqrt{31}}^2\}(9+2\sqrt{21})$
$=\{(1+2\sqrt{21}+21)-31\}(9+2\sqrt{21})$
$=(2\sqrt{21}-9)(2\sqrt{21}+9)$
$=4\cdot 21-81$
$=3$

解答ケ：３

このことから、
$(1+\sqrt{21}-\sqrt{31})(1+\sqrt{21}+\sqrt{31})(9+2\sqrt{21})>0$
                 式Ａ
であることが分かった。

$1+\sqrt{21}+\sqrt{31}>0$
$9+2\sqrt{21}>0$
だから、
$1+\sqrt{21}-\sqrt{31}>0$式Ｂ
でないと、かけて式Ａのように正にならない。

式Ｂの左辺は$a-c$なので、
$a-c>0$
$a>c$式Ｃ

また、$\sqrt{21}<\sqrt{23}$なので、
$\sqrt{21}-4<\sqrt{23}-4$
$a<b$式Ｄ

式Ｃ・式Ｄより、
$c<a<b$
である。

解答コ：２