図の固定

円$C$は、原点中心・半径$2$の円なので、
$x^2+y^2=2^2$
$x^2+y^2$$=4$⑤

解答セ：４

また、点A$(4,3)$と点P$(s,t)$を$2:1$に内分する点の座標は、
$(\frac{4+2s}{3},\frac{3+2t}{3})$
とかける。これが点Q$(x,y)$なので、
$\{\begin{array}{l}x=\frac{4+2s}{3}\\ y=\frac{3+2t}{3}\end{array}$式Ａ
である。

解答ソ：４, タ：２, チ：３, ツ：３

式Ａをさらに変形して、
$x={\displaystyle \frac{4+2s}{3}}$
$3x=4+2s$
$2s=3x-4$
$s={\displaystyle \frac{3x-4}{2}}$
$y={\displaystyle \frac{3+2t}{3}}$
$3y=3+2t$
$2t=3y-3$
$t={\displaystyle \frac{3y-3}{2}}$
より、
$\{\begin{array}{l}s=\frac{3x-4}{2}\\ t=\frac{3y-3}{2}\end{array}$式Ａ'
と書ける。

一方、点Pは円$C$上の点なので、
$s^2+t^2=2^2$
とかける。

これに式Ａ'を代入して、
${\left(\frac{3x-4}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3y-3}{2}\right)}^2=2^2$
両辺に${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$をかけると、
${(x-\frac{4}{3})}^2+{(y-1)}^2={\left(\frac{4}{3}\right)}^2$⑥
となる。

解答テ：４, ト：３, ナ：１, ニ：４, ヌ：３

式⑥から式⑤を辺々引いて、
$-)$${(x-\frac{4}{3})}^2+{(y-1)}^2={\left(\frac{4}{3}\right)}^2$
$\underset{―}{-)x^2+y^2=2^2}$
$-)$${(x-\frac{4}{3})}^2-x^2+{(y-1)}^2-y^2={\left(\frac{4}{3}\right)}^2-2^2$
$-{\displaystyle \frac{8}{3}x+{\left(\frac{4}{3}\right)}^2-2y+1={\left(\frac{4}{3}\right)}^2-2^2}$
$-{\displaystyle \frac{8}{3}x-2y+1=-2^2}$式Ｂ
両辺を$3$倍して、
$-8x-6y+3=-12$
$8x+6y=15$
という式ができる。これが直線$\ell$の式である。

解答ネ：８, ノ：６

原点$\mathrm{O}$と直線$\ell$の距離は、点と直線の距離の公式を使おう。

これを使って、
$d={\displaystyle \frac{|8\cdot 0+6\cdot 0-15|}{\sqrt{8^2+6^2}}}$
$d{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{|-15|}{\sqrt{2^2(4^2+3^2)}}}$
$d{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{15}{2\cdot 5}}$
$d{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3}{2}}$
となる。

解答ハ：３, ヒ：２

ちょっとややこしくなってきたので、図を整理した。

図の固定

図Ｂの赤い三角形の面積$S$を求める。
点$\mathrm{O}$から直線$\ell$に垂線を下ろして赤い三角形を二つの直角三角形に分ける。
この二つの直角三角形は合同になるから、片方の面積を求めて２倍しよう。
ということで、斜線の三角形の面積${\displaystyle \frac{S}{2}}$を求める。

斜線の三角形で、長さの分からない辺の長さを$h$とすると、三平方の定理より、
$h^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=2^2$
両辺を$2^2$倍して、
$2^2{h}^2+3^2=4^2$
$2^2{h}^2=4^2-3^2$
$h^2={\displaystyle \frac{7}{2^2}}$

$0<h$なので、
$h={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}}$

よって、斜線の三角形の面積${\displaystyle \frac{S}{2}}$は、${\displaystyle \frac{1}{2}\times }$底辺$\times$高さより、
${\displaystyle \frac{S}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{7}}{2}}$
とかけるから、求める赤い三角形の面積$S$は、
$S={\displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{4}}$
である。

解答フ：３, ヘ：７, ホ：４