まず、三角形の内心について復習をしておこう。

復習

図Ａにおいて、
同じ色の線分の長さは等しい。
同じ色・記号の角の大きさは等しい。

等しい線分・角が、結構たくさんある。

復習が終わったところで、問題を解こう。

図Ｂにおいて、点Pは△ABDの内心なので、DPは∠ADBの二等分線。
よって、
${\displaystyle \mathrm{\angle }\mathrm{ADP}=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }\mathrm{ADB}}$

解答ア：１, イ：２

同様に、点Qは△ACDの内心なので、DQは∠ADCの二等分線。
よって、
${\displaystyle \mathrm{\angle }\mathrm{ADQ}=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }\mathrm{ADC}}$

解答ウ：１, エ：２

以上より、
${\displaystyle \mathrm{\angle }\mathrm{ADP}+\mathrm{\angle }\mathrm{ADQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{\angle }\mathrm{ADB}+\mathrm{\angle }\mathrm{ADC})}$
$\mathrm{\angle }\mathrm{ADB}+\mathrm{\angle }\mathrm{ADC}={180}^{\circ }$なので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{ADP}+\mathrm{\angle }\mathrm{ADQ}={90}^{\circ }$より、
$\mathrm{\angle }\mathrm{PDQ}={90}^{\circ }$である。
直径に対する円周角は直角なので、このことから、点Dは線分PQを直径とする円の円周上にあることが分かる。
よって、問題選択肢のうち正しいのは１。

解答オ：１

次は、①式。図Ａで復習した「頂点から２つの接点までの長さは等しい」ってのを使うんだろうって考えられるけど、図Ｂだとちょっとごちゃごちゃしすぎなので、必要な部分だけを抜き出そう。
ついでに、必要な部分を分かりやすく着色して名前をつけてみた。

図Ｃで、
$2b=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-(a+c)$
$2b$$=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-\mathrm{AC}$
$b={\displaystyle \frac{1}{2}(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-\mathrm{AC})}$
$b=\mathrm{BH}$なので、
${\displaystyle \mathrm{BH}=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-\mathrm{AC})}$①
①式ができた。

解答カ：２, キ：０

△ABDで同じように考えて、
${\displaystyle \mathrm{BE}=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}+\mathrm{BD}-\mathrm{AD})}$②

解答ク：３, ケ：１

△ACDで、
${\displaystyle \mathrm{DF}=\frac{1}{2}(\mathrm{AD}+\mathrm{CD}-\mathrm{AC})}$③

解答コ：１, サ：０

この①～③を使ってEHを表す。
図Ｂより、
$\mathrm{EH}=\mathrm{BH}-\mathrm{BE}$
なので、①式から②式を辺々引いてみよう。
$-){\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{BH}=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-\mathrm{AC})}$
$\underset{―}{-)\mathrm{BE}=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}+\mathrm{BD}-\mathrm{AD})}$
${\displaystyle \mathrm{BH}-\mathrm{BE}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}-\mathrm{BD}-\mathrm{AC}+\mathrm{AD})}$
$\mathrm{BC}-\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$なので、
${\displaystyle \mathrm{BH}-\mathrm{BE}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}(\mathrm{AD}+\mathrm{CD}-\mathrm{AC})}$
${\displaystyle \mathrm{EH}=\frac{1}{2}(\mathrm{AD}+\mathrm{CD}-\mathrm{AC})}$
となる。この式の右辺は③式と同じなので、
$\mathrm{EH}=\mathrm{DF}$式Ａ
であることが分かる。

解答シ：３