表Ａ

群		$1$	$2$		$3$			$\cdots$	$m$
$\{a_n\}$	$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\cdots$	(3)	$\cdots$	(2)
	値	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\cdots$	(4)	$\cdots$	(5)
群の	項数	$1$	$2$		$3$			$\cdots$	(1)
	和							$\cdots$	(6)

表Ａに必要な情報をまとめた。
最初に、表の色のついたマスをうめてゆこう。

まず、(1)。
第$1$群が項数$1$，第$2$群が項数$2$，第$3$群が項数$3$なので、第$m$群は項数$m$だって考えられるから、(1)のマスには$m$が入る。

次に、(2)。
第$m$群の末項の$n$、つまり第$m$群の末項が$\{a_n\}$の何項目にあたるかを考える。
第$m$群の末項の$n$は、$1$～$m$群に含まれる項数の和なので、
$(2)=1+2+3+4+5+\cdots +m$
$(2){\displaystyle }$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{m}k}$
$(2){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{m(m+1)}{2}}$
である。

(2)が分かれば(3)は簡単だ。
第$m$群の初項は、第$(m-1)$群の末項の次の項。
第$(m-1)$群の末項は、(2)より
${\displaystyle \frac{(m-1)m}{2}}$
なので、
$(3)={\displaystyle \frac{m(m-1)}{2}+1}$
$(3){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{m^2-m+2}{2}}$
となる。

(4)，(5)は計算するまでもなく、第$1$群～第$3$群から推測できるように、
$(4)={\displaystyle \frac{1}{m+1}}$
$(5)={\displaystyle \frac{m}{m+1}}$
である。

(6)は第$m$群に含まれる項の和だ。
第$m$群に含まれる項は、初項${\displaystyle \frac{1}{m+1}}$，末項${\displaystyle \frac{m}{m+1}}$，項数$m$の等差数列なので、等差数列の和の公式より、
$(6)={\displaystyle \frac{1}{2}m(\frac{1}{m+1}+\frac{m}{m+1})}$
$(6){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}m}$
となる。

表Ｂ

群		$1$	$2$		$3$			$\cdots$	$m$
$\{a_n\}$	$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\cdots$	$\frac{m^2-m+2}{2}$	$\cdots$	$\frac{m(m+1)}{2}$
	値	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\cdots$	$\frac{1}{m+1}$	$\cdots$	$\frac{m}{m+1}$
群の	項数	$1$	$2$		$3$			$\cdots$	$m$
	和							$\cdots$	$\frac{1}{2}m$

以上を書き込み、表を完成させたのが表Ｂである。
さて、ここまで表が出来たところで、問題を解こう。

$a_{15}$の値を求めるのだけれど、真面目に解くとそれなりに手間がかかるし、どうせ後の(2)で真面目に解かなきゃいけない問題が出てくるし、今は安直に解こう。つまり、$15$項目まで全部書く。(笑)

表Ｃ

$a_1$

$a_2$

$a_3$

$a_4$

$a_5$

$a_6$

$a_7$

$a_8$

$a_9$

$a_{10}$

$a_{11}$

$a_{12}$

$a_{13}$

$a_{14}$

$a_{15}$

${\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\displaystyle \frac{1}{3}}$

${\displaystyle \frac{2}{3}}$

${\displaystyle \frac{1}{4}}$

${\displaystyle \frac{2}{4}}$

${\displaystyle \frac{3}{4}}$

${\displaystyle \frac{1}{5}}$

${\displaystyle \frac{2}{5}}$

${\displaystyle \frac{3}{5}}$

${\displaystyle \frac{4}{5}}$

${\displaystyle \frac{1}{6}}$

${\displaystyle \frac{2}{6}}$

${\displaystyle \frac{3}{6}}$

${\displaystyle \frac{4}{6}}$

${\displaystyle \frac{5}{6}}$

表Ｃより、$a_{15}={\displaystyle \frac{5}{6}}$である。

解答ア：５, イ：６

分母に初めて$8$が現れる項は、第７群の初項。
表Ｂより、第７群の初項の$n$は${\displaystyle \frac{7^2-7+2}{2}}$なので、$22$。
よって、$a_{22}$。

解答ウ：２, エ：２

表Ｂより、第$m$群の初項は${\displaystyle \frac{1}{m+1}}$なので、${\displaystyle \frac{1}{k}}$は第$(k-1)$群の初項。
なので、${\displaystyle \frac{1}{k}}$が初めて現れる項は、第$(k-1)$群の初項である。
結局、$M_k$を求めるには、第$(k-1)$群の初項の$n$を求めればよい。

表Ｂより第$m$群の初項の$n$は${\displaystyle \frac{m^2-m+2}{2}}$なので、これに$m=k-1$を代入して、
$M_k={\displaystyle \frac{(k-1{)}^2-(k-1)+2}{2}}$
$M_k{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{k}^2-\frac{3}{2}k+2}$

解答オ：１, カ：２, キ：３, ク：２, ケ：２

次に$N_k$だ。
$M_k$と同じように考えると、${\displaystyle \frac{k-1}{k}}$が初めて現れる項は第$k-1$群の末項。
表Ｂより第$m$群の末項の$n$は${\displaystyle \frac{m(m+1)}{2}}$なので、これに$m=k-1$を代入して、
$N_k={\displaystyle \frac{(k-1)k}{2}}$
$N_k{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{k}^2-\frac{1}{2}k}$

解答コ：１, サ：２, シ：１, ス：２

以下を解くのにオ～スで求めた$M_k$，$N_k$を使ってもいいんだけれど、これまで表Ｂを使って解いてきたので、このまま表Ｂの式を使う。$M_k$，$N_k$と表現は違うけれど、実はやっていることは同じだ。

$a_{104}$の値を求めるためには、$a_{104}$が第何群の第何項目かが分かればよい。

まず、第何群に含まれるか考えよう。
表Ｂより第$m$群の初項の$n$は${\displaystyle \frac{m^2-m+2}{2}}$、末項の$n$は${\displaystyle \frac{m(m+1)}{2}}$なので、$a_{104}$が第$m$群に含まれるとき、
${\displaystyle \frac{m^2-m+2}{2}\leqq 104\leqq \frac{m(m+1)}{2}}$
である。

これを解く。
各辺に$2$をかけて、
$(m-1)m+2\leqq 208\leqq m(m+1)$
あとは適当に数字を代入してみる。

$m=15$のとき、
$14\cdot 15+2\leqq ̸208\leqq 15\cdot 16$
あ、大きすぎた。
$m=14$のとき、
$13\cdot 14+2\leqq 208\leqq 14\cdot 15$
で、成り立つ。
なので、$a_{104}$は第$14$群に含まれる。
よって、分母は15。

次は、$a_{104}$が第$14$群の何項目かを考える。
第14群の初項は、
${\displaystyle \frac{(14-1)14}{2}+1=92}$
より、$a_{92}$。
$104-92=12$
より、$a_{104}$は$a_{92}$の$12$項後ろ。
初項から$12$項後ろなので、13項目ということが分かる。
よって、分子は13。

以上より、$a_{104}={\displaystyle \frac{13}{15}}$である。

解答セ：１, ソ：３, タ：１, チ：５

「数列$\{a_n\}$の第$M_k$項から第$N_k$項までの和」は、「第$(k-1)$群の初項から末項までの和」と同じ意味なので、第$(k-1)$群に含まれる項の和を求めればよい。
表Ｂより、第$m$群に含まれる項の和は${\displaystyle \frac{1}{2}m}$なので、これに$m=k-1$を代入して、
${\displaystyle \frac{1}{2}(k-1)=\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}}$
となる。

解答ツ：１, テ：２, ト：１, ナ：２

「数列$\{a_n\}$の初項から第$N_k$項までの和」は、「第１群から第$(k-1)$群までの和」と言いかえられるので、これを求めよう。
表Ｂより、第$m$群に含まれる項の和は${\displaystyle \frac{1}{2}m}$なので、求める和は
${\displaystyle \sum _{m=1}^{k-1}\frac{1}{2}m}$
とかける。
これを計算して、
$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}(k-1)(k-1+1)}$
$={\displaystyle \frac{1}{4}k(k-1)}$式Ａ
$={\displaystyle \frac{1}{4}{k}^2-\frac{1}{4}k}$
となる。

解答ニ：１, ヌ：４, ネ：１, ノ：４

表Ｄ

群		$1$	$2$		$\cdots$	$13$			$14$
$\{a_n\}$	$n$	$1$	$2$	$3$	$\cdots$	○	$\cdots$	$91$	$92$	$\cdots$	$103$	$104$	$105$
	値	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\cdots$	$\frac{1}{14}$	$\cdots$	$\frac{13}{14}$	$\frac{1}{15}$	$\cdots$	$\frac{12}{15}$	$\frac{13}{15}$	$\frac{14}{15}$
群の	項数	$1$	$2$		$\cdots$	$13$			$14$
	和				$\cdots$

最後に${\displaystyle \sum _{n=1}^{103}{a}_n}$を求めるのだけど、(2)で$a_{104}$は第14群の13項目だった。
よって、${\displaystyle \sum _{n=1}^{103}{a}_n}$は、$a_1$から第14群の12項目までの和なので、表Ｄの赤い斜線の部分の和になる。

この解き方は２通り考えられて、 解法１
第１群から第13群の和に、第14群の初項から12項目までの和を加える。
解法２
第１群から第14群の和から、第14群の13項目・14項目を引く。
ここでは、両方とも解説する。