$8^{\frac{5}{6}}=(2^3{)}^{\frac{5}{6}}$
$8^{\frac{5}{6}}$$=2^{3\cdot \frac{5}{6}}$
$8^{\frac{5}{6}}$$=2^{\frac{5}{2}}$
$8^{\frac{5}{6}}$$=2^{(2+\frac{1}{2})}$
$8^{\frac{5}{6}}$$=2^2\cdot 2^{\frac{1}{2}}$
$8^{\frac{5}{6}}$$=4\sqrt{2}$

解答ア：４, イ：２

復習

指数と対数の関係は、
${\log }_{a}b=c$⇔$a^c=b$
だった。

${\displaystyle {\log }_{27}\frac{1}{9}=x}$とおくと、
${27}^x={\displaystyle \frac{1}{9}}$
${\displaystyle {\left(3^3\right)}^x=\frac{1}{3^2}}$
$3^{3x}=3^{-2}$

となるので、
$3x=-2$
$x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$
である。

解答ウ：－, エ：２, オ：３

別解

底の変換公式より、
${\displaystyle {\log }_{27}\frac{1}{9}=\frac{{\log }_3\frac{1}{9}}{{\log }_{3}27}}$
これを変形して、
${\displaystyle {\log }_{27}\frac{1}{9}}$${\displaystyle =\frac{{\log }_3\frac{1}{3^2}}{{\log }_3{3}^3}}$
${\displaystyle {\log }_{27}\frac{1}{9}}$${\displaystyle =\frac{{\log }_3{3}^{-2}}{3}}$
${\displaystyle {\log }_{27}\frac{1}{9}}$${\displaystyle =\frac{-2}{3}}$
である。

解答ウ：－, エ：２, オ：３

グラフの移動について復習しておこう。

復習

$y=f(x)$をもとのグラフとして、
$x$軸に関して対称⇔$-y=f(x)$ $y$軸に関して対称⇔$y=f(-x)$ 原点に関して対称⇔$-y=f(-x)$

だった。
さらに、指数関数と対数関数のグラフの復習。

復習

$a$を定数として、
$y=a^x$と$y={\log }_{a}x$は、$y=x$に関して対称

だった。
ついでに、

復習

$y=f(x)$をもとのグラフとして、 $y=x$に関して対称⇔$x=f(y)$ である。

って、これ数Ⅲの内容だっけ？

復習が終わったところで、問題を解こう。

$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$を変形すると、
$y=(2^{-1}{)}^x$
$y$$=2^{-x}$

これは、$y=2^x$の$x$を$-x$に変えたもの。
よって、$y=2^x$と$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$は、$y$軸に関して対称である。

解答カ：２

指数関数と対数関数のグラフの復習より、
$y=2^x$と$y={\log }_{2}x$は、直線$y=x$に関して対称である。

解答キ：３

別解

$y={\log }_{2}x$を変形して、
$x=2^y$
これは、$y=2^x$の$x$と$y$を入れ替えたもの。
よって、$y=2^x$と$y={\log }_{2}x$は、$y=x$に関して対称である。

解答キ：３

$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$を変形すると、
底の変換公式より
$y={\displaystyle \frac{{\log }_{2}x}{{\log }_2\frac{1}{2}}}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_2{2}^{-1}}}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{{\log }_{2}x}{-1}}$
$-y={\log }_{2}x$

これは、$y={\log }_{2}x$の$y$を$-y$に変えたもの。
よって、$y={\log }_{2}x$と$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$は、$x$軸に関して対称である。

解答ク：１

$y={\displaystyle {\log }_2\frac{1}{x}}$を変形すると、
$y={\log }_2{x}^{-1}$
$y$$=-{\log }_{2}x$
$-y={\log }_{2}x$
これは、$y={\log }_{2}x$の$y$を$-y$に変えたもの。
よって、$y={\log }_{2}x$と$y={\displaystyle {\log }_2\frac{1}{x}}$は、$x$軸に関して対称である。

解答ケ：１

$y={({\log }_2\frac{x}{4})}^2-4{\log }_{4}x+3$
を変形して、
$y={\displaystyle {({\log }_{2}x-{\log }_{2}4)}^2-4\cdot \frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}+3}$
${\log }_{2}x=t$，${\log }_{2}4=2$なので、
$y={\displaystyle {(t-2)}^2-4\cdot \frac{t}{2}+3}$
$y$$=t^2-4t+4-2t+3$
$y$$=t^2-6t+7$式Ａ
となる。

解答コ：６, サ：７

また、$t={\log }_{2}x$のグラフは図Ａのようになるので、
$x>0$のとき、$t$はすべての実数。

解答シ：３

以上から式Ａのグラフを考える。

式Ａを平方完成して、
$y=t^2-6t+9-9+7$
$y$$=(t-3{)}^2-2$
より、頂点$(3,-2)$で下に凸のグラフになる。
また、定義域はすべての実数。
よって、$t=3$のとき最小値$-2$。

解答ス：３

$t=3$を$x$の値に変換する。
$t=3$を$t={\log }_{2}x$に代入して、
${\log }_{2}x=3$
$x=2^3$
$x$$=8$
より、
$x=8$のとき最小値$-2$となる。

解答セ：８, ソ：－, タ：２