$2\mathrm{PA}=3\mathrm{PB}$から${\displaystyle \mathrm{PB}=\frac{2}{3}\mathrm{PA}}$なので、
$\mathrm{PA}=x$式Ａ
とおくと、
${\displaystyle \mathrm{PB}=\frac{2}{3}x}$式Ａ
とかける。

$\mathrm{△}\mathrm{PAB}$に余弦定理を使って、
${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2-2\cdot \mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{APB}$
これに式Ａと$\mathrm{AB}=7\sqrt{3}$，$\mathrm{\angle }\mathrm{APB}={60}^{\circ }$を代入して、
$x^2+{\displaystyle {\left(\frac{2}{3}x\right)}^2-2\cdot x\cdot \frac{2}{3}x\cdot \frac{1}{2}={\left(7\sqrt{3}\right)}^2}$
両辺に$3^2$をかけて、
$9x^2+4x^2-6x^2=3^2\cdot 7^2\cdot {\left(7\sqrt{3}\right)}^2$
$7x^2=3^2\cdot 7^2\cdot 3$
$x^2=3^2\cdot 7\cdot 3$
$0<x$なので、
$x=3\sqrt{7\cdot 3}=3\sqrt{21}$
である。

解答イ：３, ウ：２, エ：１

アドバイス

$2\mathrm{PA}=3\mathrm{PB}$から、$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=3:2$なので、
$\{\begin{array}{l}\mathrm{PA}=3\mathrm{x}\\ \mathrm{PB}=2\mathrm{x}\end{array}$
とおいて余弦定理の公式に代入すると
$(3x{)}^2+(2x{)}^2-2{\displaystyle \cdot 3x\cdot 2x\cdot \frac{1}{2}={\left(7\sqrt{3}\right)}^2}$
となって、最初から分数のない式が作れる。
けれど、これを
$9x^2+4x^2-6x^2=7^2\cdot 3$
$7x^2=7^2\cdot 3$
$x^2=7\cdot 3$
$0<x$なので、
$x=\sqrt{21}$
と解いたとき、この$\sqrt{21}$がイウエだと勘違いしやすい。それで、マスに合わないと思って動揺したりすると、センター試験本番では大きな失点につながりかねない。
なので、あまり式がややこしくならなければ、求める値を$x$とおく方がお薦めである。

$\mathrm{△}\mathrm{PAB}$を、$\mathrm{AB}$が底辺、$\mathrm{P}$が頂角と考える。
$\mathrm{AB}$の長さは決まっているので、面積が最大になるのは高さが最大になるとき。
つまり、図Ｂのように、点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき。

このとき、$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$，$\mathrm{\angle }\mathrm{APB}$は${60}^{\circ }$なので、$\mathrm{△}\mathrm{PAB}$は正三角形になる。
なので、$\mathrm{PA}=7\sqrt{3}$。

解答オ：７, カ：３

復習

三角比の値の範囲は、
$-1\leqq \sin \theta \leqq 1$
$-1\leqq \cos \theta \leqq 1$
だった。

なので、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{PBA}$の値が$1$になることがあれば、それが最大値だ。

$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{PBA}=1$のとき$\mathrm{\angle }\mathrm{PBA}={90}^{\circ }$なので、点$\mathrm{P}$が図Ｃの位置にあればよい。
よって、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{PBA}$が最大になるのは図Ｃのとき。

このとき、$\mathrm{PA}$は円$\mathrm{O}$の直径。
アより、円$\mathrm{O}$の半径は$7$なので、$\mathrm{PA}=14$である。

解答キ：１, ク：４

$\mathrm{△}\mathrm{PAB}$は、$\mathrm{PB}:\mathrm{PA}:\mathrm{AB}=1:2:\sqrt{3}$の直角三角形なので、
${\displaystyle \mathrm{PB}=\frac{1}{2}\mathrm{PA}=7}$
三角形の面積$={\displaystyle \frac{1}{2}\times }$底辺$\times$高さ より、
${\displaystyle \mathrm{△}\mathrm{PAB}=\frac{1}{2}\cdot 7\sqrt{3}\cdot 7}$
${\displaystyle \mathrm{△}\mathrm{PAB}}$${\displaystyle =\frac{49\sqrt{3}}{2}}$
である。

解答ケ：４, コ：９, サ：３, シ：２