数学Ｂ：数列群数列

例題

数列
${a_{n}} = 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, \dots$
を
$3 | 5, 7 | 9, 11, 13 | 15, 17, 19, 21 | 23, \dots$
のように群に分けるとき、
(1)第 $9$ 群の第 $5$ 項目の値を答えよ。
(2) $151$ は第何群の第何項目にあたるか。
(3)第 $10$ 群に含まれる項の和を求めよ。

アドバイス

まず最初に、高校レベルの群数列は難しくない。
とか言うと、「え～？」とかいう声が聞こえてきそうだけど。
でも、自信を持って言います。群数列は難しくない。ただ、考えなきゃいけない情報が多くて混乱しがちなだけです。
じゃぁどうすればいいかというと、情報を上手に整理すればいいわけです。
具体的には、表に整理するのがお勧めだ。
というわけで、下の表Ａの、色のついたマスをうめる。全部書き込めれば勝ったも同然です。

問題を解く準備

例題の情報を、表Ａにまとめた。
この表に関しては、問題文と見比べてもらえば説明の必要はないと思う。

表Ａ
群		$1$	$2$		$3$			$\dots$	$m$
${a_{n}}$		$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	$a_{6}$	$\dots$	$a_{?}$	$\dots$	$a_{?}$	$\dots$	$a_{n}$
	$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\dots$	(3)	$\dots$	(2)	$\dots$	$n$
	値	$3$	$5$	$7$	$9$	$11$	$13$	$\dots$	(6)	$\dots$	(5)	$\dots$	(4)
群の	項数	$1$	$2$		$3$			$\dots$	(1)
群の	和							$\dots$	(7)

さて、これから表の色のついたマスをうめてゆくのだけれど、まず(1)から始めよう。
ここに入るのは、第 $m$ 群に含まれる項の数だ。
第 $1$ 群が項数 $1$ ，第 $2$ 群が項数 $2$ ，第 $3$ 群が項数 $3$ なので、第 $m$ 群は項数 $m$ だって考えられるから、(1)のマスには $m$ を入れる。

次は(2)。第 $m$ 群の末項の $n$ 、つまり第 $m$ 群の末項が ${a_{n}}$ の何項目にあたるかを考える。
第 $m$ 群の末項の $n$ は、 $1$ ～ $m$ 群に含まれる項数の和なので、
$(2) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots + m$
$(2)$ $= \sum_{k = 1}^{m} k$
$(2)$ $= \frac{1}{2} m (m + 1)$
である。

(2)が分かれば(3)は簡単だ。
第 $m$ 群の初項は、第 $(m - 1)$ 群の末項の次の項。
第 $(m - 1)$ 群の末項は、(2)より
$\frac{1}{2} (m - 1) m$
なので、
$(3) = \frac{1}{2} (m - 1) m + 1$
$(3)$ $= \frac{1}{2} (m^{2} - m + 2)$
となる。

(4)は、 ${a_{n}}$ の $n$ 項目の値、つまり $a_{n}$ の値で、一般項だ。
${a_{n}}$ は、初項 $3$ ，公差 $2$ の等比数列なので、
$a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 2$
$a_{n}$ $= 2 n + 1$
より、(4)のマスには $2 n + 1$ が入る。

一般項が分かれば、(5)，(6)は代入するだけの作業だ。

(5)は $2 n + 1$ の $n$ に $\frac{1}{2} m (m + 1)$ を代入して、
$(5) = 2 {\frac{1}{2} m (m + 1)} + 1$
$(5)$ $= m (m + 1) + 1$
$(5)$ $= m^{2} + m + 1$

(6)は $2 n + 1$ の $n$ に $\frac{1}{2} (m^{2} - m + 2)$ を代入して、
$(6) = 2 {\frac{1}{2} (m^{2} - m + 2)} + 1$
$(6)$ $= (m^{2} - m + 2) + 1$
$(6)$ $= m^{2} - m + 3$
である。

最後に、(7)。
第 $m$ 群は、初項 $m^{2} - m + 3$ ，末項 $m^{2} + m + 1$ ，項数 $m$ の等差数列なので、和は等差数列の和の公式より、
$(7) = \frac{1}{2} m {(m^{2} - m + 3) + (m^{2} + m + 1)}$
$(7)$ $= \frac{1}{2} m (2 m^{2} + 4)$
$(7)$ $= m (m^{2} + 2)$
となる。

アドバイス

問題で和を問われていなければ、この(7)は求めておく必要はないです。

これまでの結果を書き込んで表を完成させたのが、表Ｂだ。

表Ｂ
群		$1$	$2$		$3$			$\dots$	$m$
${a_{n}}$		$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	$a_{6}$	$\dots$	$a_{\frac{1}{2} (m^{2} - m + 2)}$	$\dots$	$a_{\frac{1}{2} m (m + 1)}$	$\dots$	$a_{n}$
	$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\dots$	$\frac{1}{2} (m^{2} - m + 2)$	$\dots$	$\frac{1}{2} m (m + 1)$	$\dots$	$n$
	値	$3$	$5$	$7$	$9$	$11$	$13$	$\dots$	$m^{2} - m + 3$	$\dots$	$m^{2} + m + 1$	$\dots$	$2 n + 1$
群の	項数	$1$	$2$		$3$			$\dots$	$m$
群の	和							$\dots$	$m (m^{2} + 2)$

この表が出来たら勝ったも同然。
表を見ながら、悠々と問題を解こう。

(1)

まず第 $9$ 群の第 $5$ 項目が、 ${a_{n}}$ の第何項目にあたるかを考えよう。
表Ｂより、第 $9$ 群の初項は、 ${a_{n}}$ の
$\frac{1}{2} (9^{2} - 9 + 2)$
$= 37$ 項目。
求める第 $9$ 群の第 $5$ 項目は、第 $9$ 群の初項の $4$ 項後ろなので、
$37 + 4 = 41$ 項目。
これを ${a_{n}}$ の一般項に代入して、
$a_{41} = 2 \cdot 41 + 1$
$a_{41}$ $= 83$
よって、第 $9$ 群の第 $5$ 項目の値は $83$ である。

解答83

アドバイス

上の解法の「求める第 $9$ 群の第 $5$ 項目は、第 $9$ 群の初項の $4$ 項後ろなので、 $37 + 4 = 41$ 項目。」の部分でミスをしやすい。
第 $5$ 項目だから、 $37 + 5 = 42$ としがちである。
$ℓ$ 項目は、初項の $(ℓ - 1)$ 項後ろになる。
分からなくなったら、初項を考えよう。
初項は第 $1$ 項目だけれど、第 $9$ 群の第 $1$ 項目は、初項の $1$ 項後ろじゃないでしょ。

(2)

まず、 $151$ が ${a_{n}}$ の第何項になるかを考えよう。
表Ｂより ${a_{n}}$ の一般項は $2 n + 1$ なので、
$2 n + 1 = 151$
$2 n = 150$
$n = 75$
となる。
なので、 $a_{75}$ が第何群の第何項目かを求めればよい。

$a_{75}$ が第 $k$ 群に含まれるとすると、表Ｂより第 $m$ 群の初項の $n$ は $\frac{1}{2} (m^{2} - m + 2)$ ，末項の $n$ は $\frac{1}{2} m (m + 1)$ なので、
$\frac{1}{2} (k^{2} - k + 2) ≦ 75 ≦ \frac{1}{2} k (k + 1)$
各辺を $2$ 倍して、
$k^{2} - k + 2 ≦ 150 ≦ k (k + 1)$
$k (k - 1) + 2 ≦ 150 ≦ k (k + 1)$ 式Ａ
となる $k$ を求めればよい。

適当に代入してみよう。
$k = 11$ くらいから始めてみる。
$k (k - 1) + 2 = 11 \cdot 10 + 2 = 112$
$k (k + 1) = 11 \cdot 12 = 132$
より、
$112 ≦ 150 ≦̸ 132$
で、式Ａにあわない。

$k = 11$ じゃちょっと小さすぎたので、次は $k = 12$ だ。
$k = 12$ のとき、
$k (k - 1) + 2 = 12 \cdot 11 + 2 = 134$
$k (k + 1) = 12 \cdot 13 = 156$
より、
$134 ≦ 150 ≦ 156$
で、式Ａにあてはまる。
なので、 $a_{75}$ は第 $12$ 群に含まれる。

表Ｂより、第 $12$ 群の初項の $n$ は、
$\frac{1}{2} (12^{2} - 12 + 2) = 67$
よって、初項は $a_{67}$

$75 - 67 = 8$
より、 $a_{75}$ は $a_{67}$ の $8$ 項後ろ。
よって、初項の $8$ 項後ろなので、第 $9$ 項目。

以上より、 $151$ は第 $12$ 群の第 $9$ 項目である。

解答第 $12$ 群の第 $9$ 項目

(3)

表Ｂより、第 $m$ 群に含まれる項の和は $m (m^{2} + 2)$ なので、第 $10$ 群に含まれる項の和は、
$10 (10^{2} + 2) = 1020$
である。

解答1020

アドバイス

これまでの解説で分かるように、表Ｂができれば、群数列の問題は簡単に解ける。
例題にあげたもののほか、群数列の問題にはさまざまなパターンが存在するが、まず表をつくり、それを見ながら解くことに変わりはない。
いかに情報を見やすく整理するか、それが群数列の問題を解く全てだと言ってよい。