$\mathrm{DA}=\mathrm{DC}$より$\mathrm{△}\mathrm{DAC}$は二等辺三角形なので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{DAC}=\mathrm{\angle }\mathrm{DCA}$
同じ弧に対する円周角は等しいので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{DAC}=\mathrm{\angle }\mathrm{DBC}$，$\mathrm{\angle }\mathrm{DCA}=\mathrm{\angle }\mathrm{DBA}$
以上より
$\mathrm{\angle }\mathrm{DAC}=\mathrm{\angle }\mathrm{DCA}=\mathrm{\angle }\mathrm{DBC}=\mathrm{\angle }\mathrm{DBA}$

解答ア：０

$\mathrm{BD}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$の二等分線になるので、
$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=\mathrm{AB}:\mathrm{BC}$
$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$$=2:1$
${\displaystyle \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2}}$

解答イ：１, ウ：２

ちょっと分かりにくいので、これまでに分かったことを図Bにまとめた。

赤い斜線の三角形と直線$\mathrm{FG}$にメネラウスの定理を使うと、
${\displaystyle \frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{FA}}\cdot \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\cdot \frac{\mathrm{GC}}{\mathrm{DG}}=1}$
${\displaystyle \frac{3}{2}\cdot \frac{2}{1}\cdot \frac{\mathrm{GC}}{\mathrm{DG}}=1}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{GC}}{\mathrm{DG}}=\frac{1}{3}}$
となる。

解答エ：１, オ：３

図Cで、三角形$\mathrm{AGD}$にチェバの定理を使うと、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BG}}{\mathrm{AB}}\cdot \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GC}}\cdot \frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{DF}}=1}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{BG}}{4}\cdot \frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}=1}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{BG}}{3}=1}$
$\mathrm{BG}=3$
である。

解答カ：３

$\mathrm{DC}=x$とおくと、$\mathrm{DC}:\mathrm{GC}=2:1$なので、${\displaystyle \mathrm{GC}=\frac{x}{2}}$。
方べきの定理より、
$\mathrm{GC}\cdot \mathrm{GD}=\mathrm{GB}\cdot \mathrm{GA}$
${\displaystyle \frac{x}{2}(\frac{x}{2}+x)=3\cdot (3+4)}$
${\displaystyle \frac{x}{2}\cdot \frac{3x}{2}=3\cdot 7}$
$x^2=2^2\cdot 7$
$0<x$なので、
$x=2\sqrt{7}$
となる。

解答キ：２, ク：７

四角形$\mathrm{ABCD}$の各辺で、最長は$\mathrm{AB}$の$4$。なので、外接円の直径は$4$未満にはならない。
よって、外接円の直径の最小値は$4$で、図Dのような図形になる。

解答ケ：４

赤い斜線の三角形について、
直径に対する円周角は${90}^{\circ }$
$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=2:1$
より、${30}^{\circ }{60}^{\circ }$の直角三角形であることが分かる。
なので、$\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}={30}^{\circ }$である。

解答コ：３, サ：０

図Dの赤い三角形は${30}^{\circ }{60}^{\circ }$の直角三角形なので、$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}={60}^{\circ }$。
$\mathrm{BE}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$の二等分線なので、図中の○は${30}^{\circ }$。
よって$\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=\mathrm{\angle }\mathrm{ACD}$となり、錯角が等しいので$\mathrm{AB}//\mathrm{CD}$である。

平行線の性質より、
$\mathrm{EA}:\mathrm{EC}=\mathrm{AB}:\mathrm{CD}$
$\mathrm{EA}:\mathrm{EC}=\mathrm{AH}:\mathrm{CG}$
なので、
$\mathrm{AB}:\mathrm{CD}=\mathrm{AH}:\mathrm{CG}$
これを変形して、
$\mathrm{CD}\cdot \mathrm{AH}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CG}$
$\mathrm{AB}:\mathrm{AH}=\mathrm{CD}:\mathrm{CG}$
より、
$\mathrm{AB}:\mathrm{AH}=2:1$
よって、
$\mathrm{AH}=2$

解答シ：２

シについては、このほか何通りかの解法が考えられる。