図Ａで、
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=3\cdot 2\cdot \cos {60}^{\circ }$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$$=3$式Ａ

解答ア：３

$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=2\cdot 2\cdot \cos {60}^{\circ }$
$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$$=2$式Ｂ

解答イ：２

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$
これに$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$を代入して、
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\{(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}\}-s\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$$=-s\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$式Ｃ
となる。

よって、
${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2=(-s\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c})$
               $\cdot (-s\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c})$
${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2$$=s^2{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+(1-t{)}^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+t^2{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2$
            $-2s(1-t)\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-2st\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+2t(1-t)\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$
式Ａ，式Ｂを代入して、
${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2$$=9s^2+4(1-t{)}^2+4t^2$
            $-3\cdot 2s(1-t)-3\cdot 2st+2\cdot 2t(1-t)$
${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2$$=9s^2-6s+4t^2-4t+4$
$s$，$t$それぞれ平方完成して、
${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2$$=(3s-1{)}^2+(2t-1{)}^2+2$式Ｄ
となる。

解答ウ：３, エ：１, オ：２, カ：１, キ：２

$0\leqq (3s-1{)}^2$，$0\leqq (2t-1{)}^2$なので、式Ｄが最小となるのは
$\{\begin{array}{l}(3s-1{)}^2=0\\ (2t-1{)}^2=0\end{array}$
のとき。つまり、
$\{\begin{array}{l}s=\frac{1}{3}\\ t=\frac{1}{2}\end{array}$式Ｅ
のとき。

解答ク：１, ケ：３, コ：１, サ：２

このとき、式Ｄは
${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2=2$
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\sqrt{2}$

解答シ：２

ここまでの内容を、図Ｂにまとめた。

式Ｃより、
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-s\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$
これに式Ｅを代入して、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}}$${\displaystyle =-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}}$
また、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{a}\cdot (-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c})$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}}$${\displaystyle =-\frac{1}{3}{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}}$${\displaystyle =-\frac{9}{3}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=0}$
より、$\mathrm{\angle }\mathrm{PAQ}={90}^{\circ }$である。

解答ス：０, セ：９, ソ：０

よって、$\mathrm{△}\mathrm{APQ}$の面積は、${\displaystyle \frac{1}{2}\times }$底辺$\times$高さ より、
${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}}$
となる。

解答タ：２

また、$\mathrm{G}$は$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$の重心なので、
$\mathrm{AG}:\mathrm{QG}=2:1$
となるから、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}}{2+1}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}}$
とかける。

解答チ：１, ツ：３, テ：２, ト：３, ナ：２

以上より、
${\displaystyle \mathrm{△}\mathrm{GPQ}=\frac{1}{3}\mathrm{△}\mathrm{APQ}}$
なので、
${\displaystyle \mathrm{△}\mathrm{GPQ}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}}$
である。

解答ニ：２, ヌ：３