$f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x$
を$x$について整理して、
$$\begin{array}{rl}f(x)& =(1+2a)+(-1-2a)x+(2-a)x\\ & =(-1-2a+2-a)x+(1+2a)\\ & =(-3a+1)x+2a+1\mathrm{式}Ａ\end{array}$$

解答ア：３, イ：１

式Ａは傾き$(-3a+1)$の直線の式。
傾きが正・０・負の３通りに場合分けすると、図Ａ～Ｃのようなグラフになる。

図Ａになるのは、傾きが正のときなので、
$0<-3a+1$より
$a<{\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき。
最小値は、式Ａの$x$に$0$を代入して、
$2a+1$

図Ｂになるのは、傾きが０のときなので、
$-3a+1=0$より
$a={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき。
このとき、$f(x)=2a+1$となるので、最小値も$2a+1$。

図Ｃになるのは、傾きが負のときなので、
$-3a+1<0$より、
$a>{\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき。
最小値は、式Ａの$x$に$1$を代入して、
$-3a+1+2a+1=-a+2$

$0\leqq x\leqq 1$において$f(x)\geqq {\displaystyle \frac{2(a+2)}{3}}$となるためには、最小値が${\displaystyle \frac{2(a+2)}{3}}$以上であればよい。
(1)より、最小値は$a\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$のときと$a>{\displaystyle \frac{1}{3}}$のときで異なるので、場合分けして考える。

式Ｂより、$a\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$のときには、
$2a+1\geqq {\displaystyle \frac{2(a+2)}{3}}$

途中式

$3(2a+1)\geqq 2(a+2)$
$6a+3\geqq 2a+4$
$4a\geqq 1$

$a\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$
これと$a\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$の共通部分は、
${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$式Ｄ

式Cより、$a>{\displaystyle \frac{1}{3}}$のときには、
$-a+2\geqq {\displaystyle \frac{2(a+2)}{3}}$

途中式

$3(-a+2)\geqq 2(a+2)$
$-3a+6\geqq 2a+4$
$5a\leqq 2$

$a\leqq {\displaystyle \frac{2}{5}}$
これと$a>{\displaystyle \frac{1}{3}}$の共通部分は、
${\displaystyle \frac{1}{3}}<a\leqq {\displaystyle \frac{2}{5}}$式Ｅ

式Ｄと式Ｅをあわせて、
${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{2}{5}}$
となる。

解答キ：１, ク：４, ケ：２, コ：５