$f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x$
を$x$について整理して、
$f(x)=(1+2a)+(-1-2a)x+(2-a)x$
$f(x)$$=(-1-2a+2-a)x+(1+2a)$
$f(x)$$=(-3a+1)x+2a+1$式Ａ

解答ア：３, イ：１

式Ａは傾き$(-3a+1)$の直線の式。
傾きが正・０・負の３通りに場合分けすると、図Ａ～Ｃのようなグラフになる。

図Ａになるのは、傾きが正のときなので、
$0 \lt -3a+1$より
$a \lt \displaystyle \frac{1}{3}$のとき。
最小値は、式Ａの$x$に$0$を代入して、
$2a+1$

図Ｂになるのは、傾きが０のときなので、
$-3a+1=0$より
$a=\displaystyle \frac{1}{3}$のとき。
このとき、$f(x)=2a+1$となるので、最小値も$2a+1$。

図Ｃになるのは、傾きが負のときなので、
$-3a+1 \lt 0$より、
$a \gt \displaystyle \frac{1}{3}$のとき。
最小値は、式Ａの$x$に$1$を代入して、
$-3a+1+2a+1=-a+2$

$0\leqq x\leqq 1$において$f(x)\displaystyle \geqq\frac{2(a+2)}{3}$となるためには、最小値が$\displaystyle \frac{2(a+2)}{3}$以上であればよい。
(1)より、最小値は$a\displaystyle \leqq\frac{1}{3}$のときと$a \gt \displaystyle \frac{1}{3}$のときで異なるので、場合分けして考える。

式Ｂより、$a\displaystyle \leqq\frac{1}{3}$のときには、
$2a+1\displaystyle \geqq\frac{2(a+2)}{3}$

途中式

$3(2a+1)\geqq 2(a+2)$
$6a+3\geqq 2a+4$
$4a\geqq 1$

$a\displaystyle \geqq\frac{1}{4}$
これと$a\displaystyle \leqq\frac{1}{3}$の共通部分は、
$\displaystyle \frac{1}{4}\leqq a\leqq\frac{1}{3}$式Ｄ

式Cより、$a \gt \displaystyle \frac{1}{3}$のときには、
$-a+2\displaystyle \geqq\frac{2(a+2)}{3}$

途中式

$3(-a+2)\geqq 2(a+2)$
$-3a+6\geqq 2a+4$
$5a\leqq 2$

$a\displaystyle \leqq\frac{2}{5}$
これと$a \gt \displaystyle \frac{1}{3}$の共通部分は、
$\displaystyle \frac{1}{3} \lt a\leqq\frac{2}{5}$式Ｅ

式Ｄと式Ｅをあわせて、
$\displaystyle \frac{1}{4}\leqq a\leqq\frac{2}{5}$
となる。

解答キ：１, ク：４, ケ：２, コ：５