図の固定

図Ａで青い斜線の部分が図形$D$。
図形$D$の面積$S$は、
$S={\displaystyle {\int }_a^{a+1}\{(\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2})-\frac{1}{4}{x}^2\}dx}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle ={\int }_a^{a+1}(\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2})dx}$

解答ア：４, イ：２

これをさらに計算して、
$S={[\frac{1}{4}\cdot \frac{x^3}{3}+\frac{1}{2}x]}_a^{a+1}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{4\cdot 3}\{(a+1{)}^3-a^3\}+\frac{1}{2}\{(a+1)-a\}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12}}$式Ａ

解答ウ：４, エ：４, オ：７, カ：１, キ：２

式Ａを平方完成する。
$S={\displaystyle \frac{1}{4}(a^2+a)+\frac{7}{4\cdot 3}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{4}\{{(a+\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}\}+\frac{7}{4\cdot 3}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{4}{(a+\frac{1}{2})}^2+\frac{25}{48}}$
より、
$S$は、$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{25}{48}}$。

解答ク：－, ケ：１, コ：２, サ：２, シ：５, ス：４, セ：８

$0\leqq a\leqq 1$のとき、$T$は図Ｄのようになる。

図の固定

図中の空色の部分の面積$U$は、
$U={\displaystyle {\int }_1^{a+1}\{(\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2})-1\}dx}$
$U{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_1^{a+1}(x^2-1)dx}$
$U{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{[\frac{x^3}{3}-x]}_1^{a+1}}$
$U{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{a^3}{6}+\frac{a^2}{2}}$式B

解答テ：６, ト：２

$T=D-U$なので、式Ａ，Ｂより、
$T=(\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12})-(\frac{a^3}{6}+\frac{a^2}{2})$
$T{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{6}{a}^3-\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{4}a+\frac{7}{12}}$

解答ナ：６, ニ：４, ヌ：４

最後に、$T$が最大になるときの$a$を求める。

式Ｃを微分して、
$T^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{12}(-6a^2-6a+3)}$
$T^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{4}(2a^2+2a-1)}$

$T^{\prime }=0$になるのは$2a^2+2a-1=0$のとき。
そのときの$a$は、解の公式より
$a={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2\cdot 2}}$
$a{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{-2\pm \sqrt{2^2(1+2)}}{2\cdot 2}}$
$a{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2\cdot 2}}$
$a{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}}$
である。

$0\leqq a\leqq 1$の範囲$T$の増減表を書くと、表Ｅができる。

表Ｅより、$T$は$a={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}}{2}}$のときに最大となる。

解答ネ：－, ノ：１, ハ：３, ヒ：２