まず、集合の記号の復習から始めよう。

復習

$\{\}$

$\{\}$は、集合を表す。
例えば$\{0\}$は、メンバー（要素）が$0$だけの集合を表す。

$\in$，$\ni$

$\in$，$\ni$は、集合のメンバー（要素）であることを表す。
例えば$A\ni a$は、$a$が集合$A$のメンバーであることを表す。

$\subset$，$\supset$

$\subset$，$\supset$は、部分集合を表す。
例えば$A\supset B$は、集合$B$が集合$A$の部分集合である（集合$A$に含まれる）ことを表す。

$\cap$

$\cap$は、集合同士の共通部分を表す。

$\cup$

$\cup$は、和集合を表す。

(iv)

セの両辺も集合なので、入れられるのは$\subset \supset \cap \cup$のいずれか。このうち、$\subset$，$\supset$では意味をなさない式ができるので、残る$\cap$，$\cup$について考えてみる。
$\cap$の場合、有理数と無理数に共通部分はないので、$A\cap B$は$\varphi$となり、真。
$\cup$の場合、$A\cup B$は実数全体の集合なので、$\varphi$にはならない。

解答セ：４

条件$p$は簡単だけど、条件$q$と条件$r$は分かりにくい。なので、例を考えてみよう。

まず、条件$q$について。
$x+\sqrt{28}$が有理数になる$x$の例を考える。
$x+\sqrt{28}=$有理数
なので、
$x=$有理数$-\sqrt{28}$
の形で表される数であることが分かる。
なので、条件$q$の集合は、条件$p$の集合に含まれる。（図Ａ）

よって、$p$は$q$であるための必要条件。

解答ソ：１

次に、条件$r$について。
$\sqrt{28}x$が有理数になる$x$の例を考える。
$0$，$\sqrt{7}$，$-{\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}}$，$9\sqrt{7}$，$\dots$
など、$0$か、有理数$\times \sqrt{7}$となる無理数であることが分かる。
なので、条件$r$の集合をベン図に描くと図Ｂのようになる。

$p$の条件の集合も$r$の条件の集合も、お互いにはみ出しているので、必要条件でも十分条件でもない。

解答タ：３

アドバイス

一般的には
$p\Rightarrow r$ ×
$p\Leftarrow r$ ○
なので、必要条件
って解くことが多いけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。なので、数直線やベン図で表せるときは、集合の大小で考える方がおすすめ。
「大きい集合は小さい集合の必要条件」。呪文のように憶えておこう。