大学入試センター試験 2015年(平成27年) 追試数学ⅡＢ第３問解説

問題を解く準備

センター試験に限らずマークシートのテストは、問題の流れに乗ることが大切だ。なので、私も問題の流れの通りに解説するのだけれど、この問題に関しては、問題を解く前に予備知識をつけておいた方が分かりやすいと思う。なので、最初は問題文は無視して説明する。
計算の説明は省略してるけど、あとでちゃんとフォローするから、気にせずに読み飛ばしてほしい。

①の漸化式で面倒なところは絶対値だ。なので、場合分けして絶対値をはずそう。

$0 ≦ 4 n - a_{n}$ のとき、場合分けＡ
$a_{n + 1} = (4 n - a_{n}) + 2 a_{n}$
$a_{n + 1}$ $= a_{n} + 4 n$ 式Ａ

$4 n - a_{n} < 0$ のとき、場合分けＢ
$a_{n + 1} = - (4 n - a_{n}) + 2 a_{n}$
$a_{n + 1}$ $= 3 a_{n} - 4 n$ 式Ｂ

となる。以下、場合分けＡについて考える。

式Ａの
$a_{n + 1} = a_{n} + 4 n$
より、 ${a_{n}}$ の階差数列の一般項が $4 n$ 。

階差数列からもとの数列を求める公式から、 $2 ≦ n$ のとき
$a_{n} = (- 40) + \sum_{k = 1}^{n - 1} 4 k$
$a_{n}$ $= 2 n^{2} - 2 n - 40$ 式Ｃ
となる。

これが成り立つのは、場合分けＡから
$0 ≦ 4 n - a_{n}$
のとき。
式Ｂから、 $a_{n} = 2 n^{2} - 2 n - 40$ だから、
$0 ≦ 4 n - (2 n^{2} - 2 n - 40)$
のとき。

これを計算して、
$0 ≦ - 2 n^{2} + 6 n + 40$
より、
$1 ≦ n ≦ 6$
である。
この範囲には $n = 1$ が入っているけれど、式Ｃの右辺に $n = 1$ を代入すると $a_{1}$ になるから、式Ｃは $n = 1$ のときも成り立つ。

じゃぁ、
$1 ≦ n ≦ 6$ のとき、式Ｃより
$a_{n} = 2 n^{2} - 2 n - 40$
なのかというと、そうじゃないのがこの問題の面倒なところ。
場合分けＡ・Ｂは漸化式の場合分けであって、一般項の場合分けじゃないのに注意してほしい。
$n = 6$ のとき、式Ａは成り立つので、
$a_{6 + 1} = a_{6} + 4 \cdot 6$
となり、７項目まで式Ｂの一般項が使えるのだ。

ちょっと長くなったけれど、これで問題はすらすら解けるはず。
さて、解こう。

(1)

$a_{2}, a_{3}$ に関しては①からそのまま求めよう。

$a_{2} = | 4 \cdot 1 - (- 40) | + 2 (- 40)$
$a_{2}$ $= - 36$

解答ア：３, イ：６

$a_{3} = | 4 \cdot 2 - (- 36) | + 2 (- 36)$
$a_{3}$ $= - 28$

解答ウ：２, エ：８

ここで、②が成り立っているとすれば、
$0 ≦ 4 n - a_{n}$
だから、①の漸化式の絶対値の部分は
$| 4 n - a_{n} | = 4 n - a_{n}$
となって、絶対値がはずせる。
このとき、漸化式は
$a_{n + 1} = 4 n - a_{n} + 2 a_{n}$
$a_{n + 1}$ $= a_{n} + 4 n$ 式Ｄ
$a_{n + 1} - a_{n} = 4 n$
である。

解答オ：４

復習

ここで漸化式の基本の復習をしておこう。
漸化式の基本の形は４つあって、 $a_{n + 1} = a_{n} + d$
公差 $d$ の等差数列 $a_{n + 1} = r a_{n}$
公比 $r$ の等比数列 $a_{n + 1} = a_{n} + f (n)$
階差数列の一般項が $f (n)$ $a_{n + 1} = p a_{n} + q$
特性方程式を使って解くだった。

式Ｄは３番目のパターンなので、階差数列を使って解こう。

復習

階差数列が分かっているとき、もとの数列の一般項は、
$a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k} (2 ≦ n)$
ただし、 $b_{k}$ は階差数列の一般項
だった。

よって、 $2 ≦ n$ のとき、 $a_{n}$ は、
$a_{n} = (- 40) + \sum_{k = 1}^{n - 1} 4 k$
$a_{n}$ $= - 40 + 4 \sum_{k = 1}^{n - 1} k$
$a_{n}$ $= - 40 + 4 \cdot \frac{1}{2} (n - 1) (n - 1 + 1)$
$a_{n}$ $= 2 n^{2} - 2 n - 40$ ③
である。

これは $n = 1$ のときも成り立つ。

解答カ：２, キ：２, ク：４, ケ：０

確認だけど、はじめに説明したように、
①の漸化式の絶対値の中が０以上になるのが
$1 ≦ n ≦ m$
ならば、
③の一般項が使えるのは
$1 ≦ n ≦ m + 1$
だった。
なので、 $m + 1$ は①の絶対値の中が負になる最初の数でもある。
これを利用して $m + 1$ を求めよう。

$4 n - a_{n} < 0$ より、
$4 n - (2 n^{2} - 2 n - 40) < 0$
$2 n^{2} - 2 n - 40 > 4 n$
これが、問題文中③の２行あとの式だ。
どんどん解いて、
$2 n^{2} - 6 n > 40$
$n^{2} - 3 n > 20$
$n (n - 3) > 20$ 式Ｅ

アドバイス

変な解き方をしてるけど、数列のときはこのように解く。
普通の二次不等式のように、
$n^{2} - 3 n - 20 > 0$
から
$n = \frac{3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 20)}}{2}$
とやって
$n < \frac{3 - \sqrt{89}}{2}, \frac{3 + \sqrt{89}}{2} < n$
としても、今度は $\frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}$ がどのくらいの数か調べなきゃいけない。
なので、式Ｅのようにして、あとは適当な数字を代入してみる。どうせ $n$ は自然数だし。

$n$ が $5$ くらいからやってみよう。
$n = 5$ のとき、 $5 (5 - 3) = 10$ なのでダメ。
$n = 6$ のとき、 $6 (6 - 3) = 18$ なのでダメ。
$n = 7$ のとき、 $7 (7 - 3) = 28$ なのでOKだ。
というわけで、式Ｄを満たす最小の $n$ は、
$7$
である。

解答コ：７

$a_{7}$ は、③より
$a_{7} = 2 \cdot 7^{2} - 2 \cdot 7 - 40 = 44$
となる。

解答サ：４, シ：４

(2)

ここからは、はじめの説明の場合分けＢの部分だ。

まず④を数学的帰納法で確かめるらしい。
ここでちゃんと証明を考えていると、多分試験時間がなくなる。
どうせマジな数学的帰納法がセンター試験に出たことは過去一度もないし。
今はスセだけ解こう。

今は場合分けＢについて考えているので、①の漸化式は、式Ｂより、
$a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 n$
とかける。
この $n$ を $k$ にかえて、
$a_{k + 1} = 3 a_{k} - 4 k$
となる。

解答ス：３, セ：４

以上より、
$7 ≦ n$ のとき、
$a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 n$ ⑤
ここからはお約束の解き方だ。

⑤の $n$ に $n + 1$ を代入して、
$a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 4 (n + 1)$ ⑤'
⑤'-⑤より、辺々引いて、
$a_{n + 2} - a_{n + 1} = {3 a_{n + 1} - 4 (n + 1)} - (3 a_{n} - 4 n)$
$a_{n + 2} - a_{n + 1}$ $= 3 a_{n + 1} - 3 a_{n} - 4$
$a_{n + 2} - a_{n + 1}$ $= 3 (a_{n + 1} - a_{n}) - 4$ 式Ｆ
ここで、問題文の通り
$b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ 式Ｇ
とおくと、
$b_{n + 1} = a_{n + 2} - a_{n + 1}$
だから、式Ｆは
$b_{n + 1} = 3 b_{n} - 4$
となる。

解答ソ：３, タ：４

漸化式の基本の４番目のパターンになった。
両辺から $2$ を引いて、（なぜ $2$ を引くかは、 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 型の漸化式を復習してほしい）
$b_{n + 1} - 2 = 3 b_{n} - 6$
$b_{n + 1} - 2$ $= 3 (b_{n} - 2)$

解答チ：２, ツ：３

より、 $b_{n} - 2 = c_{n}$ とおくと、
$c_{n + 1} = 3 c_{n}$
となるので、 ${c_{n}}$ は公比 $3$ の等比数列である。あとは $c_{1}$ が分かれば ${c_{n}}$ の一般項が出せる。
なので、 $c_{1}$ を求めたいけど、すぐには出ない。
だから、 $b_{7}$ → $c_{7}$ → $c_{1}$ と、順に求めてゆく。

ここで、式Ｇより、
$b_{7} = a_{8} - a_{7}$
サシより、
$a_{7} = 44$
⑤より、
$a_{8} = 3 a_{7} - 4 \cdot 7$
$a_{8}$ $= 3 \cdot 44 - 4 \cdot 7$
$a_{8}$ $= 4 (33 - 7)$
$a_{8}$ $= 104$
なので、
$b_{7} = 104 - 44$
$b_{7}$ $= 60$
となる。

解答テ：６, ト：０

数列 $c_{n}$ は $7 ≦ n$ のときにしか成り立たないけれど、 $n < 7$ のときも成り立つと考えると、等比数列の一般項の式より
$c_{7} = c_{1} \cdot 3^{7 - 1}$
また、
$c_{7} = b_{7} - 2 = 58$
なので、
$c_{1} \cdot 3^{6} = 58$
$c_{1} = \frac{58}{3^{6}}$
以上より、等比数列の一般項の式から、
$c_{n} = \frac{58}{3^{6}} \cdot 3^{n - 1}$
$c_{n}$ $= 58 \cdot 3^{n - 7}$
である。

${c_{n}}$ が出れば勝ったも同然。
これから、 ${c_{n}}$ → ${b_{n}}$ → ${a_{n}}$ と戻ってゆこう。

ここで、 $c_{n} = b_{n} - 2$ なので、
$b_{n} - 2 = 58 \cdot 3^{n - 7}$
$b_{n} = 58 \cdot 3^{n - 7} + 2$ 式Ｈ
となる。

解答ナ：５, ニ：８

次に、 ${a_{n}}$ を求めるために、 $b_{n}$ と $a_{n}$ の関係を整理しよう。
式Ｇより、
$b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$
⑤より、
$a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 n$
なので、⑤を式Ｇに代入して、
$b_{n} = (3 a_{n} - 4 n) - a_{n}$
$b_{n}$ $= 2 a_{n} - 4 n$ 式Ｉ
となる。

解答ヌ：２

よって、式Ｉ=式Ｈより、 $7 ≦ n$ のとき、
$2 a_{n} - 4 n = 58 \cdot 3^{n - 7} + 2$
$2 a_{n} = 58 \cdot 3^{n - 7} + 4 n + 2$
$a_{n} = 29 \cdot 3^{n - 7} + 2 n + 1$
となる。

解答ネ：２, ノ：９, ハ：２, ヒ：１

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