71
グラフの移動

まず、$G$の方程式を求める。
$G$は$y=-{\displaystyle \frac{1}{4}{x}^2}$を$x$軸方向に$-a$、$y$軸方向に$4(a+1{)}^2$平行移動なので、移動前の式の
$x$に$(x+a)$
$y$に$\{y-4(a+1{)}^2\}$
を代入して、
$y-4(a+1{)}^2=-{\displaystyle \frac{1}{4}(x+a{)}^2}$
$y=-{\displaystyle \frac{1}{4}(x+a{)}^2+4(a+1{)}^2}$
となる。

ここまでの別解

71
二次関数のグラフ

頂点が原点のグラフを$x$軸方向に$-a$、$y$軸方向に$4(a+1{)}^2$平行移動するので、$G$の頂点は$(-a,4(a+1{)}^2)$であり、$x^2$の係数は$-{\displaystyle \frac{1}{4}}$。
よって、$G$の式は、
$y=-{\displaystyle \frac{1}{4}(x+a{)}^2+4(a+1{)}^2}$
である。

ここで問題文を見ると、答えは$-{\displaystyle \frac{1}{4}}$でくくって因数分解した形になっている。なので、その形にもってゆこう。
$y=-{\displaystyle \frac{1}{4}(x+a{)}^2+\frac{4}{4}\times 4(a+1{)}^2}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{4}\{(x+a{)}^2-4^2(a+1{)}^2\}}$
$\{\}$内は$A^2+B^2=(A+B)(A-B)$の形なので、
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{4}\{(x+a)+4(a+1)\}\{(x+a)-4(a+1)\}}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{4}(x+5a+4)(x-3a-4)}$式Ａ
となる。

解答ア：５, イ：４, ウ：３, エ：４

115
文字係数の放物線とx軸の共有点

$G$は上に凸で、頂点の座標は$(-a,4(a+1{)}^2)$。
このグラフが、$-9\leqq x\leqq 11$の範囲で$x$軸と異なる２点で交わればよい。

このタイプの問題は、決まった解き方をするので憶えておこう。

復習

ポイントは、条件に合うグラフを描いて、
$x$軸との共有点の個数を考える条件Ａ 境目（この場合は$x=-9$と$x=11$）の$y$座標に注目する。条件Ｂ グラフの軸が境目よりも右にあるか左にあるかを見る。条件Ｃ だった。

115
文字係数の放物線とx軸の共有点

まず、条件Ａから考える。

$G$は上に凸のグラフなので、$x$軸と異なる２点で交わるためには、$y$座標が正であればよい。
よって、
$0<4(a+1{)}^2$
$0<(a+1{)}^2$
$a+1\ne 0$
$a\ne -1$式Ｂ

条件Ｂを考えながら図Ａを見ると、境目（この場合は$x=-9$と$x=11$）の$y$座標が$0$以下であることが分かる。
よって、
$y=-{\displaystyle \frac{1}{4}(x+5a+4)(x-3a-4)}$
に$x=-9$と$x=11$を代入して、
$\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}(-9+5a+4)(-9-3a-4)\leqq 0\\ -\frac{1}{4}(11+5a+4)(11-3a-4)\leqq 0\end{array}$

121
二次不等式の解法(1)

これを解いて、

$(5a-5)(-3a-13)\geqq 0$
$(a-1)(a+\frac{13}{3})\leqq 0$
$-{\displaystyle \frac{13}{3}\leqq a\leqq 1}$式Ｃ１

$(5a+15)(-3a+7)\geqq 0$
$(a+3)(a-\frac{7}{3})\leqq 0$
$-3{\displaystyle \leqq a\leqq \frac{7}{3}}$式Ｃ２

図Ａより、条件Ｃについては、軸が$-9\leqq x\leqq 11$の範囲に入ればよいことが分かる。
よって、
$-9\leqq -a\leqq 11$
$9\geqq a\geqq -11$
より、
$-11\leqq a\leqq 9$式Ｄ

127
連立不等式の解法(二次)

以上より数直線を描いたものが、図Ｂ。

この数直線より、
$-3\leqq a<-1,-1<a\leqq 1$
である。

解答オ：－, カ：３, キ：－, ク：１, ケ：－, コ：１, サ：１

次は$G$と$y$軸の交点の$y$座標の最小値を求めよという。
まず$G$と$y$軸の交点の$y$座標を出そう。

式Ａの$x$に$0$を代入して、
$y=-{\displaystyle \frac{1}{4}(5a+4)(-3a-4)}$
$y{\displaystyle }$$={\displaystyle \frac{1}{4}(5a+4)(3a+4)}$式E
この最小値が求めるシスセソの値だ。

85
二次関数の最大・最小

$a$の定義域は実数全体なので、式Ｅが最小になるのは頂点だから、頂点を求めよう。
式Eの中の$5a+4$と$3a+4$が、それぞれ
$5a+4=0$
$3a+4=0$
になる点が横軸（$a$軸）との交点だから、グラフはすぐに描ける。

図Ｃより、$x$軸との交点$(-\frac{4}{3},0)$と$(-\frac{4}{5},0)$の中点が軸（頂点の$x$座標）なので、
頂点の$x={\displaystyle \frac{1}{2}(-\frac{4}{3}-\frac{4}{5})}$
頂点の$x{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{16}{15}}$
となる。嫌な数になったけど仕方がない。

これを式Ｅの$x$に代入すると答えだ。ちょっと面倒だけど、平方完成するよりは楽かも。
$y={\displaystyle \frac{1}{4}\{5\cdot (-\frac{16}{15})+4\}\{3\cdot (-\frac{16}{15})+4\}}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{4}(-\frac{16}{3}+4)(-\frac{16}{5}+4)}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{4}{15}}$
より、
最小値は$-{\displaystyle \frac{4}{15}}$となる。

解答シ：－, ス：４, セ：１, ソ：５