円$C$は原点中心・半径５なので、方程式は
$x^2+y^2=5^2$
である。

解答ス：２, セ：５

OAは∠PAQの二等分線だから、
${\displaystyle \mathrm{\angle }\mathrm{OAP}=\frac{\pi }{6}}$
である。

解答ソ：６

図Ａを見ると、△OAPは30°60°の直角三角形だと分かる。
よって、
$\mathrm{OP}:\mathrm{OA}:\mathrm{AP}=1:2:\sqrt{3}$
円Oの半径は５だから、$\mathrm{OP}=5$なので、
$\mathrm{OA}=10$
となる。

解答タ：１, チ：０

次に、直線OAの傾きだ。

復習

直線同士が垂直 $\iff$ 傾き同士をかけると$-1$
だった。

また、問題文より、直線PQの傾きは$-{\displaystyle \frac{4}{3}}$。
なので、直線OAの傾きを$a$とすると、
$-{\displaystyle \frac{4}{3}a=-1}$
$-{\displaystyle \frac{4}{3}}$${\displaystyle a=\frac{3}{4}}$
である。

解答ツ：３, テ：４

以上より、原点を通って傾き${\displaystyle \frac{3}{4}}$の直線上にあり、原点からの距離が$10$の点がＡである。

傾きが${\displaystyle \frac{3}{4}}$ということは$x$方向に$4$増えると$y$方向に$3$増えるということだけど、これって$3:4:5$の直角三角形だよね。この$3:4:5$の直角三角形を２倍の大きさにすると、$6:8:10$で、距離$10$になるよね。

というわけで、計算するまでもなく、点Ａの座標は
$(8,6)$
となる。

解答ト：８, ナ：６

こんな風に直感的に解くのじゃなくて、ちゃんと式を作って解くと、別解のようになる。

次に、ORの長さを求めよという。
図Ａを見て気づくのは、ORは$1:2:\sqrt{3}$の直角三角形ROPの一辺だということなので、それを利用して解こう。

∠AOPが60°、∠ORPが直角なので、
$\mathrm{OP}:\mathrm{OR}=2:1$
OPは円$C$の直径なので、$\mathrm{OP}=5$。
よって、
$5:\mathrm{OR}=2:1$
${\displaystyle \mathrm{OR}=\frac{5}{2}}$
である。

解答ニ：５, ヌ：２

(2)より、$\mathrm{OA}=10$だった。
なので、次のネは、
${\displaystyle \mathrm{OR}:\mathrm{RA}=\frac{5}{2}:10-\frac{5}{2}}$
$\mathrm{OR}:\mathrm{RA}$$=5:20-5$
$\mathrm{OR}:\mathrm{RA}$$=5:15$
$\mathrm{OR}:\mathrm{RA}$$=1:3$
となるから、$3$である。

解答ネ：３

以上を用いて、直線PQの方程式を求めるようだ。
問題文からPQの傾きは分かっているので、通る点の座標を求めよう。
問題の流れから、点Rの座標を求める。

$\mathrm{OR}:\mathrm{RA}=1:3$より、点Rの座標は
${\displaystyle \frac{3\mathrm{O}+1\mathrm{A}}{1+3}}$式B
とかける。
$\mathrm{O}=(0,0)$、(2)より$\mathrm{A}=(8,6)$なので、式Ｂは、
${\displaystyle \frac{3(0,0)+1(8,6)}{1+3}}$
$={\displaystyle \frac{(8,6)}{4}}$
$=(2,\frac{3}{2})$
となる。

以上より、傾き$-{\displaystyle \frac{4}{3}}$で、$(2,\frac{3}{2})$を通る直線の式を求めればよい。
よって、
$y-{\displaystyle \frac{3}{2}=-\frac{4}{3}(x-2)}$
$y=-{\displaystyle \frac{4}{3}x+\frac{8}{3}+\frac{3}{2}}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{4}{3}x+\frac{16+9}{6}}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{4}{3}x+\frac{25}{6}}$
である。

解答ノ：２, ハ：５, ヒ：６

あとは、今求めた直線と円$C$の交点を出せばよい。
どちらの図形も方程式が分かっているので、連立方程式を解くだけである。

円$C$と直線PQの方程式より、
$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5^2\\ y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{6}\end{array}$

下の式を
$y=-{\displaystyle \frac{8}{6}x+\frac{25}{6}}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{6}(8x-25)}$
と変形して、上の式に代入すると、
$x^2+{\{-\frac{1}{6}(8x-25)\}}^2=5^2$
となる。

両辺を$6^2$倍して、
$6^2{x}^2+(8x-25{)}^2=6^2{5}^2$
$6^2{x}^2+(8x-25{)}^2-(6\cdot 5{)}^2=0$
$6^2{x}^2+(8x-25+6\cdot 5)(8x-25-6\cdot 5)=0$
$6^2{x}^2+(8x+5)(8x-55)=0$
ありゃ。どうにもならなくなった。仕方がないから展開しよう。

$6^2{x}^2+8^2{x}^2+8\cdot 5x-8\cdot 55x-5\cdot 55=0$
$2^2(3^2+4^2)x^2+8\cdot 5(1-11)x-5\cdot 55=0$
$2^2{5}^2{x}^2-8\cdot 5\cdot 10x-5\cdot 55=0$
両辺を$5^2$で割って、
$4x^2-16x-11=0$式Ｃ

アドバイス

計算方法の説明のため、式を全く省略せずに全部書いた。行数が多くて大変そうに見えるけど、暗算できる部分も全部書いたからそう見えるだけで、因数分解せずにいきなり展開するともっと面倒になる。
「とりあえず展開」とかしてはいけない。くれぐれも数学の計算の基本は因数分解である。

問題文のマスから式Ｃは因数分解できないのは明らかなので、解の公式から
$x={\displaystyle \frac{16\pm \sqrt{{16}^2-4\cdot 4\cdot (-11)}}{2\cdot 4}}$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{16\pm \sqrt{4^2(16+11)}}{2\cdot 4}}$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{16\pm 4\sqrt{27}}{2\cdot 4}}$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{4\pm \sqrt{27}}{2}}$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{4\pm 3\sqrt{3}}{2}}$
となる。

解答フ：４, ヘ：３, ホ：３