まず、AB, ACの長さを求める。
直角三角形が２つ見えるから、三平方の定理を使おう。

点Dは線分BCを$1:5$に内分する点で、線分BCの長さは$6$だから、
$\mathrm{BD}=1$
$\mathrm{CD}=5$

図Ａで△ABDは直角三角形なので、
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}$
$\mathrm{AB}^{2}$$=(2\sqrt{6})^{2}+1^{2}$
$\mathrm{AB}^{2}$$=25$
$0 \lt \mathrm{AB}$なので、
$\mathrm{AB}=5$
となる。

解答ア：５

また、△ADCも直角三角形なので、
$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}$
$\mathrm{AC}^{2}$$=(2\sqrt{6})^{2}+5^{2}$
$\mathrm{AC}^{2}$$=49$
$0 \lt \mathrm{AC}$なので、
$\mathrm{AC}=7$
である。

解答イ：７

図Ａにここまでの情報を書き込んで、図Ｂをつくった。

次に、問題文は内接円Oの半径を求めろという。
いろいろ方法はあるけれど、どれも計算が面倒だ。多分一番楽なのは、三角形の面積から求める方法だろう。

復習

ついでに三角形の面積の公式を復習しておこう。
三角形の面積を$S$、外接円の半径を$R$、内接円の半径を$r$とすると、 １ $ S=\displaystyle \frac{1}{2} \times$底辺$ \times$高さ ２ $S=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A$ ３ $S=\displaystyle \frac{abc}{4R}$ ４ $S=\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)$ ５ $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし、$s=\displaystyle \frac{a+b+c}{2}$

で、今使うのは１と４だ。

△ABCの面積$S$は、$\displaystyle \frac{1}{2}\times$底辺$\times$高さより、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\times 6\times 2\sqrt{6}$式Ａ

また、同じ△ABCの面積$S$は、$S=\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)$より、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}r(5+6+7)$式Ｂ

式Ｂ=式Ａなので、
$\displaystyle \frac{1}{2}r(5+6+7)=\frac{1}{2}\times 6\times 2\sqrt{6}$
両辺を$2$倍して、
$r(5+6+7)=6\times 2\sqrt{6}$
両辺を$6$で割って、
$3r=2\sqrt{6}$
$r=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}$
となる。

解答ウ：２, エ：６, オ：３

次は、三角形の内接円との接点と、頂点までの距離の問題。お決まりの解き方である。

内接円OとBC, AC, ABとの接点をそれぞれE, F, Gとすると（図Ｂ参照）、
$\mathrm{AG}=\mathrm{AF}$, $\mathrm{BG}=\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}=\mathrm{CE}$
なので、
$\mathrm{CE}=\mathrm{CF}=x$
とすると、
$\mathrm{AG}=\mathrm{AF}=7-x$
$\mathrm{BG}=\mathrm{BE}=6-x$
また、
$\mathrm{AB}=\mathrm{AG}+\mathrm{BG}=5$
なので、
$(7-x)+(6-x)=5$
$2x=8$
$2$$x=4$
である。

解答カ：４

さらにCOを求めろという。けれど、COは直角三角形CEOの斜辺で、ウエオでOE、カでCEを求めてあるので、あとは計算するだけだ。

△OCEで、三平方の定理より、
$\mathrm{CO}^{2}=\mathrm{CE}^{2}+\mathrm{OE}^{2}$
OEは内接円Oの半径なので、
$\mathrm{CO}^{2}=4^{2}+\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^{2}$
$\displaystyle \mathrm{CO}^{2}$$\displaystyle =\frac{3^{2}\cdot 4^{2}}{3^{2}}+\frac{2^{2}\cdot 6}{3^{2}}$
分子を$2^{3}\cdot 3$でくくって、
$\displaystyle \mathrm{CO}^{2}$$\displaystyle =\frac{2^{3}\cdot 3(3\cdot 2+1)}{3^{2}}$
$\displaystyle \mathrm{CO}^{2}$$\displaystyle =\frac{2^{3}\cdot 3\cdot 7}{3^{2}}$
$0 \lt \mathrm{CO}$なので、
$\displaystyle \mathrm{CO}=\frac{2\sqrt{42}}{3}$

解答キ：２, ク：４, ケ：２, コ：３

最後に、△CEFの内心と△ABCの内心の間の距離を答えろという。

ここで、図Ｃを見てほしい。
図中の数字をつけた角度は、すべて等しい。

説明すると、
青い弧とオレンジの弧は等しいから、円周角はすべて等しい。なので、
①=②=③=④

青い三角形で、接弦定理より
⑤=②

黄色い三角形で、接弦定理より、
⑥=④

なので、
①=②=③=④=⑤=⑥
となる。

ということは、③と⑤は等しいから、赤い線は赤い角の二等分線になる。

以上より、赤い点は角の二等分線の交点になるから、赤い三角形の内心である。

もっと言うと、円の外部の点から円に二本の接線を引き、接点同士を結んだ線と接線で三角形を作るとき、その内心は円周上にある。

同じことが、図Ｄでいえる。

線分COと円Oの交点をIとすると、
直線EIは∠FECの二等分線。
直線CIは∠Cの二等分線。
なので、円O上の点Iは△CEFの内心である。
以上より、OとIの距離は円Oの半径となる。
だから、
$\displaystyle \mathrm{OI}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
である。

解答サ：２, シ：６, ス：３

この方法は、知っていれば一瞬で答えが出るけど、知らなければ普通は思いつかない。
なので、知らなければ別解で解こう。