まず、AB, ACの長さを求める。
直角三角形が２つ見えるから、三平方の定理を使おう。

点Dは線分BCを$1:5$に内分する点で、線分BCの長さは$6$だから、
$\mathrm{BD}=1$
$\mathrm{CD}=5$

図Ａで△ABDは直角三角形なので、
${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BD}}^2$
${\mathrm{AB}}^2$$=(2\sqrt{6}{)}^2+1^2$
${\mathrm{AB}}^2$$=25$
$0<\mathrm{AB}$なので、
$\mathrm{AB}=5$
となる。

解答ア：５

また、△ADCも直角三角形なので、
${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{CD}}^2$
${\mathrm{AC}}^2$$=(2\sqrt{6}{)}^2+5^2$
${\mathrm{AC}}^2$$=49$
$0<\mathrm{AC}$なので、
$\mathrm{AC}=7$
である。

解答イ：７

図Ａにここまでの情報を書き込んで、図Ｂをつくった。

次に、問題文は内接円Oの半径を求めろという。
いろいろ方法はあるけれど、どれも計算が面倒だ。多分一番楽なのは、三角形の面積から求める方法だろう。

復習

ついでに三角形の面積の公式を復習しておこう。
三角形の面積を$S$、外接円の半径を$R$、内接円の半径を$r$とすると、 １ $S={\displaystyle \frac{1}{2}\times }$底辺$\times$高さ ２ $S={\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A}$ ３ $S={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$ ４ $S={\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)}$ ５ $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし、$s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$

で、今使うのは１と４だ。

△ABCの面積$S$は、${\displaystyle \frac{1}{2}\times }$底辺$\times$高さより、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}\times 6\times 2\sqrt{6}}$式Ａ

また、同じ△ABCの面積$S$は、$S={\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)}$より、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}r(5+6+7)}$式Ｂ

式Ｂ=式Ａなので、
${\displaystyle \frac{1}{2}r(5+6+7)=\frac{1}{2}\times 6\times 2\sqrt{6}}$
両辺を$2$倍して、
$r(5+6+7)=6\times 2\sqrt{6}$
両辺を$6$で割って、
$3r=2\sqrt{6}$
$r={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}$
となる。

解答ウ：２, エ：６, オ：３

次は、三角形の内接円との接点と、頂点までの距離の問題。お決まりの解き方である。

内接円OとBC, AC, ABとの接点をそれぞれE, F, Gとすると（図Ｂ参照）、
$\mathrm{AG}=\mathrm{AF}$, $\mathrm{BG}=\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}=\mathrm{CE}$
なので、
$\mathrm{CE}=\mathrm{CF}=x$
とすると、
$\mathrm{AG}=\mathrm{AF}=7-x$
$\mathrm{BG}=\mathrm{BE}=6-x$
また、
$\mathrm{AB}=\mathrm{AG}+\mathrm{BG}=5$
なので、
$(7-x)+(6-x)=5$
$2x=8$
$2$$x=4$
である。

解答カ：４

さらにCOを求めろという。けれど、COは直角三角形CEOの斜辺で、ウエオでOE、カでCEを求めてあるので、あとは計算するだけだ。

△OCEで、三平方の定理より、
${\mathrm{CO}}^2={\mathrm{CE}}^2+{\mathrm{OE}}^2$
OEは内接円Oの半径なので、
${\mathrm{CO}}^2=4^2+{\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)}^2$
${\displaystyle {\mathrm{CO}}^2}$${\displaystyle =\frac{3^2\cdot 4^2}{3^2}+\frac{2^2\cdot 6}{3^2}}$
分子を$2^3\cdot 3$でくくって、
${\displaystyle {\mathrm{CO}}^2}$${\displaystyle =\frac{2^3\cdot 3(3\cdot 2+1)}{3^2}}$
${\displaystyle {\mathrm{CO}}^2}$${\displaystyle =\frac{2^3\cdot 3\cdot 7}{3^2}}$
$0<\mathrm{CO}$なので、
${\displaystyle \mathrm{CO}=\frac{2\sqrt{42}}{3}}$

解答キ：２, ク：４, ケ：２, コ：３

最後に、△CEFの内心と△ABCの内心の間の距離を答えろという。

ここで、図Ｃを見てほしい。
図中の数字をつけた角度は、すべて等しい。

説明すると、
青い弧とオレンジの弧は等しいから、円周角はすべて等しい。なので、
①=②=③=④

青い三角形で、接弦定理より
⑤=②

黄色い三角形で、接弦定理より、
⑥=④

なので、
①=②=③=④=⑤=⑥
となる。

ということは、③と⑤は等しいから、赤い線は赤い角の二等分線になる。

以上より、赤い点は角の二等分線の交点になるから、赤い三角形の内心である。

もっと言うと、円の外部の点から円に二本の接線を引き、接点同士を結んだ線と接線で三角形を作るとき、その内心は円周上にある。

同じことが、図Ｄでいえる。

線分COと円Oの交点をIとすると、
直線EIは∠FECの二等分線。
直線CIは∠Cの二等分線。
なので、円O上の点Iは△CEFの内心である。
以上より、OとIの距離は円Oの半径となる。
だから、
${\displaystyle \mathrm{OI}=\frac{2\sqrt{6}}{3}}$
である。

解答サ：２, シ：６, ス：３

この方法は、知っていれば一瞬で答えが出るけど、知らなければ普通は思いつかない。
なので、知らなければ別解で解こう。