247
真数条件

アは普通に真数条件を考えるだけで解ける。
${\log }_{\sqrt{2}}y$の真数条件より、
$0<y$

解答ア：０

問題文に「$z=2^x$とおく」とあり、(*)にあった$x$が、①②では$z$に変わっているから、代入すればいいんだと分かる。ただし、そのままでは代入できないから、代入できる形に変えよう。

238
指数法則

(*)の連立方程式の上の式の
$2^{x-2}+{\displaystyle \frac{1}{2}y=3}$
を変形して、
${\displaystyle \frac{2^x}{2^2}+\frac{1}{2}y=3}$

$2^x=z$なので、
${\displaystyle \frac{z}{2^2}+\frac{1}{2}y=3}$
両辺を$2^2$倍して、
$z+2y=12$①
である。

解答イ：２, ウ：１, エ：２

247
指数と対数の
関係

次は(*)の連立方程式の下の式だ。
$z=2^x$は${\log }_{2}z=x$
とかける。
これを連立方程式(*)の下の式に代入して、
${\log }_{2}z-{\log }_{\sqrt{2}}y=2$②

次に、問題文は
$w={\log }_{\sqrt{2}}y$式Ａ
とおけと言う。
出題者の意図がつかめないので、問題文の言うままに計算してゆく。
式Ａより、
$y={\left(\sqrt{2}\right)}^w$
両辺を${\log }_2$に入れて、
251
対数をとる ${\log }_{2}y={\log }_2{\left(\sqrt{2}\right)}^w$
${\log }_{2}y$$=w{\log }_2\sqrt{2}$
247
対数の性質 ${\displaystyle {\log }_{2}y}$${\displaystyle =w\cdot \frac{1}{2}}$
$w=2{\log }_{2}y$式Ｂ
となる。

解答オ：２

ここまで計算しても、何でこんなことをしているのか分からない。しかし、この計算の結果、②が③に変形できるというので、ようやく底の変換がしたかったんだと気づく。
気づいてしまえばこっちのもんだ。

式Ａ=式Ｂより、
${\log }_{\sqrt{2}}y=2{\log }_{2}y$
これを②に代入して、
${\log }_{2}z-2{\log }_{2}y=2$
${\log }_{2}z-{\log }_2{y}^2=2$
${\displaystyle {\log }_2\frac{z}{y^2}=2}$
${\displaystyle {\log }_2\frac{z}{y^2}}$${\displaystyle =2\cdot {\log }_{2}2}$
${\displaystyle {\log }_2\frac{z}{y^2}}$${\displaystyle ={\log }_2{2}^2}$

256
対数方程式

真数だけとりだして、
${\displaystyle \frac{z}{y^2}=2^2}$
$z=2^2{y}^2$
$z$$=4y^2$③
である。

解答カ：４, キ：２

次に問題文は①と③の連立方程式を解けという。
これは普通の連立方程式だから、計算間違いだけ気をつければよい。

20
たすき掛け

③を①に代入して、
$4y^2+2y=12$
$2y^2+y-6=0$
$(2y-3)(y+2)=0$
$y=-2,{\displaystyle \frac{3}{2}}$

ここで、真数条件より$0<y$なので、
$y={\displaystyle \frac{3}{2}}$

これを式③に代入して、
$z=4{\left(\frac{3}{2}\right)}^2$
$z$$=9$
となる。

解答ク：３, ケ：２, コ：９

最後に$x+y={\displaystyle {\log }_{2}9+\frac{3}{2}}$以下の整数のうち最大のものを求めろという。

255
対数の大小比較

サの上の行を見ると、とりあえず
${\displaystyle \frac{n}{2}\leqq {\log }_{2}9<\frac{n+1}{2}}$式Ｃ
の形を作るようだ。
底が$2$なので、左辺の${\displaystyle \frac{n}{2}}$は
$8=2^3=2^{\frac{6}{2}}$
を表しているんじゃないかと想像がつく。中辺の真数の$9$より小さいし。
なので、
$2^{\frac{6}{2}}<9$
とすると、右辺の${\displaystyle \frac{n+1}{2}}$は
$2^{\frac{6+1}{2}}=2^{\frac{6}{2}+\frac{1}{2}}$
$2^{\frac{6+1}{2}}$$=2^{\frac{6}{2}}\times 2^{\frac{1}{2}}$
$2^{\frac{6+1}{2}}$$=8\sqrt{2}$
になる。確かに$8\sqrt{2}$は$9$より大きいので、
$2^{\frac{6}{2}}<9<2^{\frac{7}{2}}$
とかける。

何となく式Ｃの形に近づいてきた。

258
対数不等式

各辺を${\log }_2$に入れた場合、底が１より大きいので、
${\log }_2{2}^{\frac{6}{2}}<{\log }_{2}9<{\log }_2{2}^{\frac{7}{2}}$
${\displaystyle \frac{6}{2}{\log }_{2}2<{\log }_{2}9<\frac{7}{2}{\log }_{2}2}$
より、
${\displaystyle \frac{6}{2}<{\log }_{2}9<\frac{7}{2}}$式Ｃ'
である。

解答サ：６

でも、${\log }_{2}9$の範囲は最終目的じゃない。
ここから、$x+y={\displaystyle {\log }_{2}9+\frac{3}{2}}$の形を作らないといけない。

46
連立不等式の
解法(一次)

式Ｃ'の各辺に${\displaystyle \frac{3}{2}}$をたして、
${\displaystyle \frac{9}{2}<{\log }_{2}9+\frac{3}{2}<\frac{10}{2}}$
より、
${\displaystyle \frac{9}{2}<x+y<\frac{10}{2}}$
できた。

以上より、$x+y$以下の整数のうち最大のものは
$4$
といえる。

解答シ：４