142
三角比の相互関係(1)

最初は単純な計算である。
${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$より、
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}+{(-\frac{\sqrt{2}}{4})}^2=1$
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=1-{(-\frac{\sqrt{2}}{4})}^2$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}$${\displaystyle =1-\frac{2}{4^2}}$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}$${\displaystyle =\frac{14}{4^2}}$

$0<\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$なので、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{14}}{4}}$
となる。

解答オ：１, カ：４, キ：４

160
正弦定理

先に$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$を求めて、後でACの長さとなれば、迷わずに正弦定理を使おう。

${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}=2R}$
なので、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}=2\cdot \frac{2\sqrt{14}}{7}}$
両辺に${\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}}$をかけて、
${\displaystyle \mathrm{AC}=\frac{\sqrt{14}}{4}\times 2\cdot \frac{2\sqrt{14}}{7}}$
${\displaystyle \mathrm{AC}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{14}\cdot 2\cdot 2\cdot \sqrt{14}}{4\cdot 7}}$

約分して、
$\mathrm{AC}=2$
である。

解答ク：２

160
余弦定理

次はABだけど、$\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$が分からないので、正弦定理は使えない。
なので、余弦定理だ。

${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$
だから、
$2^2={\mathrm{AB}}^2+{\sqrt{2}}^2-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \sqrt{2}\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{4})$
${\mathrm{AB}}^2+\mathrm{AB}-2=0$
$(\mathrm{AB}-1)(\mathrm{AB}+2)=0$
$0<\mathrm{AB}$より、
$\mathrm{AB}=1$
となる。

解答ケ：１

いったん情報を整理しよう。ここまでで分かったことを図Ａに書き加えたのが、図Ｂである。ただし、ややこしくなるので一部省略してある。

ここで、復習に三角形の面積の公式を思いだそう。

復習

$S={\displaystyle \frac{1}{2}\times }$底辺$\times$高さ $S={\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin \mathrm{A}}$ $S={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$ $S={\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)}$ $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし、$s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$ 意外にたくさんある。

使えるのは２か３だけど、今回は２の方が計算が楽。

174
三角形の面積

２を使うと、
△ABC$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{14}}{4}}$
△ABC${\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2\sqrt{7}}{2\cdot 4}}$
△ABC${\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{\sqrt{7}}{4}}$
となる。

解答コ：７, サ：４

最後はADだ。
図Ｂで、BDは円Oの直径なので、∠BADは直角。なので、三平方の定理が使える。

${\mathrm{BD}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AD}}^2$
よって、
${(2\cdot \frac{2\sqrt{14}}{7})}^2=1^2+{\mathrm{AD}}^2$
${\displaystyle {\mathrm{AD}}^2=\frac{2^4\cdot 14}{7^2}-1}$
${\displaystyle {\mathrm{AD}}^2}$${\displaystyle =\frac{2^4\cdot 14-7^2}{7^2}}$
くれぐれもここで$2^4\cdot 14$とか$7^2$とかを展開してはいけない。かけ算をしても、あとで同じ数で割るハメになる。数学の計算の基本は因数分解である。
さらに、${\mathrm{AD}}^2$を$\mathrm{AD}$にするときに平方根をとるのだから、分母は$7^2$のままおいておく方がよい。だから、分母分子を$7$で約分してはダメ。
分子を$7$でくくって、
${\displaystyle {\mathrm{AD}}^2=\frac{7(2^4\cdot 2-7)}{7^2}}$
${\displaystyle {\mathrm{AD}}^2}$${\displaystyle =\frac{7\times 25}{7^2}}$
$0<\mathrm{AD}$より、
${\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{5\sqrt{7}}{7}}$
である。

解答シ：５, ス：７, セ：７