大学入試センター試験 2015年(平成27年) 追試 数学ⅠA 第5問 解説

(1)

n2+n6=(n2)(n+3)
より、

解答ア:2, イ:3

n2+n613の倍数のときは、mを整数として、
n2=13m式A
または
n+3=13m式B
である。

式Aのとき、
n=13m+2
より、n13で割ると2余る。

式Bのとき、
n=13m3
n=13(m1)+10
より、n13で割ると10余る。

解答ウ:2, エ:1, オ:0

n2+n617の倍数のときは、mを整数として、
n2=17m式C
または
n+3=17m式D
である。

式Cのとき、
n=17m+2
より、n17で割ると2余る。

式Dのとき、
n=17m3
n=17(m1)+14
より、n17で割ると14余る。

解答カ:2, キ:1, ク:4

以上から分かることは、
n2pの倍数のとき、npで割ると2余る。
n+3pの倍数のとき、npで割るとp3余る。
よって、
p3=2
p=5
のとき、n2n+3pの倍数となる。

解答ケ:5

(2)

一次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

13x17y=1式E
を解く。

xyの係数の1317でユークリッドの互除法を行うと、
17÷13=14式F1
13÷4=31式F2

これを「=余り」の形に変形して、
17131=4式F1'
1343=1式F2'

式F2'に式F1'を代入して、
13(17131)3=1
13173+133=1
134173=1式G
ができる。

式Eから式Gを辺々引くと、

13x17y=1
)134173=1
13(x4)17(y3)=0

となるから、
13(x4)=17(y3)
とかける。

ここで、1317は互いに素なので、この式が成り立つためには、mを整数として
{x4=17my3=13m
より
{x=17m+4y=13m+3式H
でなければならない。

問題文よりxは自然数。
よって、式Hより、
0<17m+4
417<m
となるので、mの範囲は
0m
だ。

mがこの範囲のとき、xが最小となる解の組を探す。
式Hより、
x=17m+4
なので、xが最小になるのはmが最小のとき。
よって、式Hにm=0を代入して、 x=170+4
x=4
y=130+3
y=3
が求める解である。

解答コ:4, サ:3

(3)

条件にあう自然数nは、x,yを整数として、
{n=13x+2n=17y+14式I
とかける。
ここからnを消去して、
13x+2=17y+14
13x17y=12式J
とする。

ここでは、先にxの範囲を求めておこう。
1n221
なので、
113x+2221
113x219
113x21913
xは整数なので、
0x16式K
となる。

さて、式Jの不定方程式を解こう。

式Gの両辺を12倍して、
13481736=12
これを式Jから辺々引くと

13x17y=12
)13481736=12
13(x48)17(y36)=0

となるから、
13(x48)=17(y36)
とかける。

ここで、1317は互いに素なので、この式が成り立つためには、mを整数として
x48=17m
x=17m+48式L
でなければならない。

式Kより、0x16なので、
017m+4816
4817m32
4817m3217
mは整数なので、
m=2

答えまであと少しだ。
m=2のとき、式Lより
x=17(2)+48
x=14
このとき、式Iより
n=1314+2
x=184
である。

解答シ:1, ス:8, セ:4