接線の方程式を求めるので、まず微分。
$C$の方程式を微分して、
$y^{\prime }=-2x$
よって、点P$(a,1-a^2)$での接線$\ell$の方程式は、
$y-(1-a^2)=-2a(x-a)$
$y=-2ax+2a^2+1-a^2$
$y$$=-2ax+a^2+1$
である。

解答ア：２, イ：ａ, ウ：２, エ：１

この直線と原点との距離は、点と直線の距離の公式を使って求めよう。

復習

点$(\alpha ,\beta )$と直線$ax+by+c=0$の距離$d$は、
$d={\displaystyle \frac{|a\alpha +b\beta +c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$
だった。

なので、$\ell$の式を
$2ax+y-(a^2+1)=0$
と変形すると、
$h={\displaystyle \frac{|-(a^2+1)|}{\sqrt{(2a{)}^2+1^2}}}$
$-(a^2+1)<0$なので、
$h{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{a^2+1}{\sqrt{4a^2+1}}}$式Ａ
となる。

解答オ：４, カ：１

ここで、問題文は$t=\sqrt{4a^2+1}$とおけと言う。
問題文の上の行は$a$の式、下の行は$t$の式なので、代入して$a$を$t$に変えろということらしい。

$t=\sqrt{4a^2+1}$式Ｂ
の両辺を２乗すると、
$t^2=4a^2+1$
$a^2={\displaystyle \frac{t^2-1}{4}}$式Ｃ

式Ｂ・Ｃを式Ａに代入して、
$h={\displaystyle \frac{\frac{t^2-1}{4}+1}{t}}$

分母分子に$4$をかけて、
$h{\displaystyle =\frac{t^2-1+4}{4t}}$
$h{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{t^2+3}{4t}}$
となるけど、これじゃ問題文のマスに入らない。
仕方がないからマスに入るように変形しよう。

$h={\displaystyle \frac{1}{4}\cdot \frac{t^2+3}{t}}$
$h{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{4}(\frac{t^2}{t}+\frac{3}{t})}$
$h{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{4}(t+\frac{3}{t})}$
これでマスに入るようになった。

解答キ：４, ク：３

何でこんなことをしているのかと思えば、次に相加平均と相乗平均の関係を使う準備だったようだ。

復習

相加平均と相乗平均の関係は、
$0\leqq \mathrm{A},0\leqq \mathrm{B}$のとき、
$\mathrm{A}+\mathrm{B}\geqq 2\sqrt{\mathrm{AB}}$
等号成立は$\mathrm{A}=\mathrm{B}$のとき
だった。

問題文の言う通り相加平均と相乗平均の関係を使うと、
$t+{\displaystyle \frac{3}{t}\geqq 2\sqrt{t\cdot \frac{3}{t}}}$
$t+{\displaystyle \frac{3}{t}}$${\displaystyle \geqq 2\sqrt{3}}$

この両辺を${\displaystyle \frac{1}{4}}$倍して、
${\displaystyle \frac{1}{4}(t+\frac{3}{t})\geqq \frac{1}{4}\cdot 2\sqrt{3}}$
${\displaystyle \frac{1}{4}(t+\frac{3}{t})}$${\displaystyle \geqq \frac{\sqrt{3}}{2}}$

ここで、${\displaystyle \frac{1}{4}(t+\frac{3}{t})=h}$だったので、
$h{\displaystyle \geqq \frac{\sqrt{3}}{2}}$式Ｄ
である。

ただし、等号成立は
$t={\displaystyle \frac{3}{t}}$
$t^2=3$
のとき。

解答ケ：３

これを式Ｃに代入して、
$a^2={\displaystyle \frac{3-1}{4}}$
$a^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2}{4}}$
$a={\displaystyle \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}$
のとき。

解答コ：２, サ：２

$h$の最小値は、式Ｄより、
${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$
である。

解答シ：３, ス：２

まず、直線$m$の方程式を求めるために、$m$の傾きを出そう。
２点$(-1,0)(1-b,2b-b^2)$を通るから、$m$の傾きは、
${\displaystyle \frac{y\text{の増加量}}{x\text{の増加量}}=\frac{2b-b^2}{1-b-(-1)}}$
${\displaystyle \frac{y\text{の増加量}}{x\text{の増加量}}}$${\displaystyle =\frac{2b-b^2}{2-b}}$
${\displaystyle \frac{y\text{の増加量}}{x\text{の増加量}}}$${\displaystyle =b}$
である。

傾き$b$の直線が$(-1,0)$を通ればよいので、$m$の方程式は、
$y-0=b\{x-(-1)\}$
$y=bx+b$
となる。

解答セ：ｂ, ソ：ｂ

ここで、いったん図を整理しよう。

$C$と$m$で囲まれた図形の面積が$S_1$なので、$S_1$は図Ｃの青い部分の面積。
なので、
$S_1={\displaystyle {\int }_{-1}^{1-b}\{(1-x^2)-(bx+b)\}dx}$
$S_1{\displaystyle }$${\displaystyle ={\int }_{-1}^{1-b}(-x^2-bx-b+1)dx}$
$S_1{\displaystyle }$${\displaystyle =-{\int }_{-1}^{1-b}(x^2+bx+b-1)dx}$式Ｅ
だけど、これは${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式が使えるから、普通に積分してはいけない。

${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式を使うと、式Ｅは
$S_1=-[-\frac{1}{6}\{(1-b)-(-1){\}}^3]$
$S_1{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{(1-b+1{)}^3}{6}}$
$S_1{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{(-b+2{)}^3}{6}}$
$S_1{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{-b^3+6b^2-12b+8}{6}}$
$S_1{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{6}{b}^3+b^2-2b+\frac{4}{3}}$式Ｅ'
である。

解答タ：－, チ：１, ツ：６, テ：２

次は$S_2$だ。
$C$と$m$と$x=b$で囲まれた部分の面積が$S_2$なので、$S_2$は図Ｃの黄色い部分の面積。
なので、
$S_2={\displaystyle {\int }_{1-b}^b\{(bx+b)-(1-x^2)\}dx}$
これは${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式は使えない。いや、補助線を引いて面積をたしたり引いたりすれば使えるけど、かえって面倒。なので、普通に積分しよう。

ちょっと計算が長いけど、省略せずに全部書いているから。因数分解中心の計算方法も含めて、頑張ってついてきてほしい。

$S_2={\displaystyle {\int }_{1-b}^b(x^2+bx+b-1)dx}$
$S_2$$={[\frac{1}{3}{x}^3+\frac{b}{2}{x}^2+(b-1)x]}_{1-b}^b$
分母を$6$にそろえて、
$S_2$$={[\frac{2}{6}{x}^3+\frac{3b}{6}{x}^2+\frac{6(b-1)x}{6}]}_{1-b}^b$
${\displaystyle \frac{1}{6}}$を$[]$の外に出すと、
$S_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{6}{[2x^3+3b{x}^2+6(b-1)x]}_{1-b}^b}$
$S_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{6}[\{(2b^3+3b^3+6(b-1)b\}}$
       $-\{2(1-b{)}^3+3b(1-b{)}^2+6(b-1)(1-b)\}]$
同類項（でもないけど）をまとめよう。
$S_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{6}[2\{b^3-(1-b{)}^3\}+3b\{b^2-(1-b{)}^2\}}$
       $+6(b-1)\{(b-(1-b)\}$

３つのかたまりができた。先頭のかたまりの$\{\}$内は${\mathrm{A}}^3-{\mathrm{B}}^3$の形、真ん中のかたまりの$\{\}$内は${\mathrm{A}}^2-{\mathrm{B}}^2$の形なので、それぞれ因数分解して、
$S_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{6}[2\{b-(1-b)\}\{b^2+b(1-b)+(1-b{)}^2\}}$
       $+3b\{(b+(1-b)\}\{b-(1-b)\}$
         $+6(b-1)\{(b-(1-b)\}]$
$S_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{6}\{2(2b-1)(b^2-b+1)+3b(2b-1)}$
       $+6(b-1)(2b-1)\}$
$(2b-1)$でくくると、
$S_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{6}(2b-1)\{2(b^2-b+1)+3b+6(b-1)\}}$
$S_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{6}(2b-1)(2b^2+7b-4)}$

で、問題を見ると、うへ～。展開してるよ。展開前の形の方がきれいなのになぁ。
仕方がないから展開しよう。
$S_2={\displaystyle \frac{4b^3+12b^2-15b+4}{6}}$
$S_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2}{3}{b}^3+2b^2-\frac{5}{2}b+\frac{2}{3}}$式Ｆ
となる。

解答ト：２, ナ：３, ニ：５, ヌ：２

次は$S=S_1+S_2$とおいて、$S$を求めるようだ。
よって、式Ｅ'+式Ｆより、
$S=(-\frac{1}{6}{b}^3+b^2-2b+\frac{4}{3})$
       $+(\frac{2}{3}{b}^3+2b^2-\frac{5}{2}b+\frac{2}{3})$
同類項をまとめて、
$S$$=(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3})b^3+(1+2)b^2$
       $+(-2-\frac{5}{2})b+(\frac{4}{3}+\frac{2}{3})$
$()$内を通分して、
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{-1+4}{6}{b}^3+3b^2-\frac{4+5}{2}b+\frac{6}{3}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{b}^3+3b^2-\frac{9}{2}b+2}$式Ｇ
である。

解答ネ：１, ノ：２, ハ：９, ヒ：２

もうちょっとだ。

最後は、${\displaystyle \frac{1}{2}<b\leqq 1}$のときの$S$の最小値を求める。

式Ｇを微分して、
$S^{\prime }={\displaystyle \frac{3}{2}{b}^2+6b-\frac{9}{2}}$
$S^{\prime }{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3}{2}(b^2+4b-3)}$
なので、$S^{\prime }=0$となるのは、
$b^2+4b-3=0$
のとき。これは、解の公式より、
$b={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}}$
$b{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{-4\pm \sqrt{4(4+3)}}{2}}$
$b{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{-4\pm 2\sqrt{7}}{2}}$
$b$$=-2\pm \sqrt{7}$
のとき。

問題文のマスからフ,ヘは７,２だと分かるけど、ここではちゃんと最後まで解いておく。

これから増減表を書くのだけれど、$-2\pm \sqrt{7}$が定義域に入るかどうか確認しておこう。
$-2-\sqrt{7}$は負の値なので、定義域外なのは明らか。
問題は$-2+\sqrt{7}$だ。
定義域の両端の${\displaystyle \frac{1}{2},1}$と$-2+\sqrt{7}$の大小関係を調べよう。

それぞれに２をたしても大小関係は変わらないので、
${\displaystyle \frac{1}{2}+1,1+2,-2+\sqrt{7}+2}$
つまり
${\displaystyle \frac{3}{2},3,\sqrt{7}}$
の大小関係を調べればよい。
２倍しても大小関係は変わらない。
$3,6,2\sqrt{7}$
√に入れて、
$\sqrt{9},\sqrt{36},\sqrt{28}$
となるから、大小関係は
$\sqrt{9}<\sqrt{28}<\sqrt{36}$
である。

以上より、
${\displaystyle \frac{1}{2}<-2+\sqrt{7}<1}$
となり、$-2+\sqrt{7}$は定義域に入っている。

これで増減表がかける。

$b$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	$\cdots$	$-2+\sqrt{7}$	$\cdots$	$1$
$S^{\prime }$		$-$	$0$	$+$
$S$		$\searrow$	最小値	$\nearrow$

増減表より、$S$は$b=\sqrt{7}-2$のときに最小値をとる。

解答フ：７, ヘ：２