表Ａ

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	計
$P$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	$1$

最初にどんな目が出てももう一度投げる場合、２度目のさいころの目だけを考えればいいから、確率分布表は表Ａのようになる。

表Ａより、期待値$E(X)$は、
$E(X)={\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6}{6}}$
$E(X){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{7}{2}}$式Ａ

解答ア：７, イ：２

表Ｂ

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	計
最初		${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$
二度目	${\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}}$
合計	${\displaystyle \frac{1}{36}}$	${\displaystyle \frac{7}{36}}$	${\displaystyle \frac{7}{36}}$	${\displaystyle \frac{7}{36}}$	${\displaystyle \frac{7}{36}}$	${\displaystyle \frac{7}{36}}$	$1$

次は、最初に１が出たらさいころを２回投げる場合だ。この場合の確率分布表は表Ｂのようになる。

表Ｂより、
$Y=1$となる確率は${\displaystyle \frac{1}{36}}$

解答ウ：１, エ：３, オ：６

$Y=2$となる確率は${\displaystyle \frac{7}{36}}$

解答カ：７, キ：３, ク：６

期待値$E(Y)$は、
$E(Y)={\displaystyle \frac{1}{36}(1\cdot 1+2\cdot 7+3\cdot 7}$
                    $+4\cdot 7+5\cdot 7+6\cdot 7)$
$E(Y){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{36}\{1+7(2+3+4+5+6)\}}$
$E(Y){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{47}{12}}$
である。

解答ケ：４, コ：７, サ：１, シ：２

表Ｃ

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	計
最初				${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$
二度目	${\displaystyle \frac{3}{6}\cdot \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{3}{6}\cdot \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{3}{6}\cdot \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{3}{6}\cdot \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{3}{6}\cdot \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{3}{6}\cdot \frac{1}{6}}$
合計	${\displaystyle \frac{1}{12}}$	${\displaystyle \frac{1}{12}}$	${\displaystyle \frac{1}{12}}$	${\displaystyle \frac{3}{12}}$	${\displaystyle \frac{3}{12}}$	${\displaystyle \frac{3}{12}}$	$1$

期待値を最大にするには、最初に$E(X)$以下の目が出たときのみ二度目を投げればよい。
式Ａより$E(X)={\displaystyle \frac{7}{2}}$なので、この場合の確率分布表は表Ｃのようになる。

表Ｃより、期待値$E(Z)$は、
$E(Z)={\displaystyle \frac{1}{12}(1\cdot 1+2\cdot 1+3\cdot 1}$
                    $+4\cdot 3+5\cdot 3+6\cdot 3)$
$E(Z){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{12}\{1+2+3+3(4+5+6)\}}$
$E(Z){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{17}{4}}$
となる。

解答ス：１, セ：７, ソ：４

科目Ａについて、平均点の$66.2$点、標準偏差の$15.0$点を使って、順位を求める$80$点をまず標準化しよう。
$80$点の標準化したものを$z$とすると、
$z={\displaystyle \frac{80-66.2}{15.0}=0.92}$
となる。

正規分布表で$z_0=0.92$を探すと、$0.3212$であることが分かる。

この$0.3212$は、図Ｄの斜線の部分。
青い部分は
$0.5-0.3212=0.1788$
であるから、この生徒は全体の上から$0.1788$の位置にいる。
分かりにくければ、上から17.88％と言ってもいい。

母集団は$14000$人なので、上から$0.1788$は、
$14000\times 0.1788=2503.2$
となり、この生徒は2500番付近にいることが分かる。

以上より、当てはまるものは２である。

解答タ：２

$59$点でもまず標準化して、
$z={\displaystyle \frac{59-66.2}{15.0}=-0.48}$
これは平均よりも下の値なので、図Ｄを左右反転させた図Ｅで考えよう。

正規分布表で$z_0=0.48$を探すと、$0,1844$である。
これは、図Ｅの斜線の部分。
青い部分は
$0.5+0.1844=0.6844$
であるから、この生徒は全体の上から$0.6844$の位置にいる。

母集団は$14000$人なので、上から$0.6844$は、
$14000\times 0.6844=9581.6$
となり、この生徒は上から9580番付近にいることが分かる。

以上より、当てはまるものは９である。

解答チ：９

まず、信頼度95％なので、正規分布表から図Ｆの緑の面積が$0.95$となる$z_0$の値を探そう。
ただし、正規分布表には図Ｆの右半分、$z$が$0$以上の部分の面積が載っているので、$0.95$の半分、$0.475$を探すと、$z_0=1.96$であることが分かる。

復習

ここで、母平均$m$の信頼区間は、
母標準偏差を$\sigma$、標本平均を$\bar{X}$、標本の大きさを$n$として、
${\displaystyle \bar{X}-z\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\leqq m\leqq \bar{X}+z\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$
だった。$z$には先に求めた$z_0$を用いる。

よって、
$63.5-1.96{\displaystyle \cdot \frac{16.0}{\sqrt{196}}\leqq m\leqq 63.5+1.96\cdot \frac{16.0}{\sqrt{196}}}$
$61.26\leqq m\leqq 65.74$
となる。
これを小数第二位で四捨五入して、
$61.3\leqq m\leqq 65.7$

解答ツ：６, テ：１, ト：３, ナ：６, ニ：５, ヌ：７