図Ａより
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}$式Ｄ
だ。

$\mathrm{OA}$∥$\mathrm{BC}$ $\mathrm{OA}:\mathrm{BD}=1:k$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$は向きが逆 $k$は正の数 なので、
$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=-k\;\overrightarrow{\mathrm{OA}}$
とかける。

これを式Ｄに代入すると、
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-k\;\overrightarrow{\mathrm{OA}}$
より
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=-k\vec{a}+\vec{b}$式Ｅ
となる。

解答カ：２

また、$\mathrm{OC}$⊥$\mathrm{OD}$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OD}}=0$式Ｆ
だ。

いま、
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OC}}&=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\ &=\vec{a}+\vec{b}\class{tex_formula}{式Ｇ} \end{align} $$ である。

式Ｅ，式Ｇを式Ｆに代入すると、
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot(-k\vec{a}+\vec{b})=0$
とかける。

これを$k$について整理すると、

途中式

$-k\vec{a}\cdot\vec{a}-k\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=0$
$-k\left|\vec{a}\right|^{2}-k\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{b}+\left|\vec{b}\right|^{2}=0$
$k\left(\left|\vec{a}\right|^{2}+\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=\vec{a}\cdot\vec{b}+\left|\vec{b}\right|^{2}$

$k=\dfrac{\left|\vec{b}\right|^{2}+\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^{2}+\vec{a}\cdot\vec{b}}$
となる。

解答キ：４

ここで、$\vec{c}$，$\vec{d}$は、式Ｅ，式Ｇより
$\vec{d}=-k\vec{a}+\vec{b}$式Ｅ' $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$式Ｇ' とかける。

これを使うと、

と表せる。

式Ｃに式Ｈ，式Ｉを代入すると、
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OR}}=(1-t)^{2}&\dfrac{1}{k+1}(\vec{c}-\vec{d})\\ &+t^{2}\dfrac{1}{k+1}(k\vec{c}+\vec{d}) \end{align} $$ とかける。

これを整理して、

途中式

$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OR}}&=\dfrac{1}{k+1}\left\{(1-t)^{2}(\vec{c}-\vec{d})+t^{2}(k\vec{c}+\vec{d})\right\}\\ &=\dfrac{1}{k+1}\left\{\begin{gathered}(1-t)^{2}\;\vec{c}-(1-t)^{2}\;\vec{d}\;\\+kt^{2}\;\vec{c}+t^{2}\;\vec{d}\end{gathered}\right\}\\ &=\dfrac{1}{k+1}\left[\begin{gathered}\left\{(1-t)^{2}+kt^{2}\right\}\vec{c}\\+\left\{-(1-t)^{2}+t^{2}\right\}\vec{d}\;\end{gathered}\right]\\ &=\dfrac{1}{k+1}\left\{\begin{gathered}(kt^{2}+t^{2}-2t+1)\vec{c}\\+(t^{2}-t^{2}+2t-1)\vec{d}\;\end{gathered}\right\}\\ &=\dfrac{1}{k+1}\left[\begin{gathered}\left\{(k+1)t^{2}-2t+1\right\}\vec{c}\;\\+(2t-1)\vec{d}\end{gathered}\right] \end{align} $$ より、$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$は

$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OR}}=&\textcolor{red}{\dfrac{1}{k+1}\left\{(k+1)t^{2}-2t+1\right\}\vec{c}}\\ &\qquad+\dfrac{1}{k+1}(2t-1)\vec{d}\class{tex_formula}{式Ｊ} \end{align} $$ である。

解答コ：５, サ：２, シ：１, ス：２, セ：１

$\mathrm{OC}$⊥$\ell$ → $\vec{c}$⊥$\ell$ $\mathrm{OD}$∥$\ell$ → $\vec{d}$∥$\ell$ なので、$\mathrm{R}$と$\ell$の距離にあたるのは、式Ｊの赤い部分だ。

つまり
$\left|\dfrac{1}{k+1}\left\{\textcolor{red}{(k+1)t^{2}-2t+1}\right\}\vec{c} \; \right|$式Ｋ
が最小になるときを考えればよい。

問われているのは、距離が最小になる$t$の値。
よって、式Ｋの赤い部分が最小のときの$t$の値を求めればよい。

式Ｋの赤い部分を$y$とおくと、
$y=(k+1)t^{2}-2t+1$式Ｌ
とかける。

$k \gt 0$なので、式Ｌのグラフは下に凸の放物線で、頂点の$t$座標は
$$ \begin{align} t&=\dfrac{2}{2(k+1)}\\ &=\dfrac{1}{k+1} \end{align} $$ だ。

$k \gt 0$のとき、
$0 \lt \dfrac{1}{k+1} \lt 1$
だから、放物線の頂点は定義域に含まれている。

以上より、式Ｌが最小になる、つまり$\mathrm{R}$と$\ell$の距離が最小になるときの$t$の値は、
$\dfrac{1}{k+1}$
であることが分かる。

解答ソ：６