まず、第1問 [1] と同様に、問題文の指示に従って公式を導く。
ここで作るのは、$\tan$ の2倍角の公式だ。

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$
なので、
$\tan 2x={\displaystyle \frac{\sin 2x}{\cos 2x}}$
である。

これに ２倍角の公式
$\{\begin{array}{l}\sin 2x=2\sin x\cos x\\ \cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\end{array}$
を代入すると
$\tan 2x={\displaystyle \frac{2\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}}$
となる。

解答タ：８

この右辺の分母分子を${\cos }^{2}x$で割ると
$$\begin{array}{rl}\tan 2x& ={\displaystyle \frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{1-{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}}\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ となって、$\tan$の２倍角の公式ができる。

解答チ：ｂ

また
$\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )={\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha }}$
だから、${\displaystyle \frac{\tan (\frac{\pi }{2}-2x)}{\tan (\frac{\pi }{2}-x)}}$は
${\displaystyle \frac{\tan (\frac{\pi }{2}-2x)}{\tan (\frac{\pi }{2}-x)}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{\tan 2x}}{\frac{1}{\tan x}}}$
とかける。

右辺を整理すると、これはさらに
${\displaystyle \frac{\tan (\frac{\pi }{2}-2x)}{\tan (\frac{\pi }{2}-x)}}={\displaystyle \frac{\tan x}{\tan 2x}}$
と変形できる。

これに式Ａを代入すると、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\tan (\frac{\pi }{2}-2x)}{\tan (\frac{\pi }{2}-x)}}& ={\displaystyle \frac{\tan x}{\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1-{\tan }^{2}x}{2}}\mathrm{①}\end{array}$$ と表せる。

解答ツ：６

$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$
のとき、
$0<\tan x<1$
なので、
$0<{\tan }^{2}x<1$
とかける。

これを材料にして、①式の右辺をつくろう。

各辺に$-1$をかけて
$0>-{\tan }^{2}x>-1$
各辺に$1$をたして、
$1>1-{\tan }^{2}x>0$
各辺を$2$で割ると
${\displaystyle \frac{1}{2}}>{\displaystyle \frac{1-{\tan }^{2}x}{2}}>0$
となって、①式の右辺ができた。

ここまでくると勝ったも同然だ。

これに①式を代入して
${\displaystyle \frac{1}{2}}>{\displaystyle \frac{\tan (\frac{\pi }{2}-2x)}{\tan (\frac{\pi }{2}-x)}}>0$
この式の左右を入れかえると
$0<{\displaystyle \frac{\tan (\frac{\pi }{2}-2x)}{\tan (\frac{\pi }{2}-x)}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$②
となって、②式の形になる。

解答テ：０, ト：５

$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ のとき、
$\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)=\tan {89}^{\circ }$を満たす$x$は、
${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x={89}^{\circ }$
より
${90}^{\circ }-2x={89}^{\circ }$
$-2x=-1^{\circ }$
$x={0.5}^{\circ }$
である。

度と弧度法（ラジアン）の変換を思い出すと、

復習

[ラジアン]$={\displaystyle \frac{\pi }{180}}$[度] [度]$={\displaystyle \frac{180}{\pi }}$[ラジアン]

だった。

復習より、$x={0.5}^{\circ }$ は、弧度法では
$$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{0.5}{180}}\pi \\ & ={\displaystyle \frac{\pi }{360}}\end{array}$$ と表せる。

解答ナ：３, ニ：６, ヌ：０

このとき、
$\{\begin{array}{l}\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)=\tan {89}^{\circ }\\ \tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\tan {89.5}^{\circ }\end{array}$
なので、②式は
$0<{\displaystyle \frac{\tan {89}^{\circ }}{\tan {89.5}^{\circ }}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$
となる。

これに
$\tan {89}^{\circ }=57.29$
を代入して
$0<{\displaystyle \frac{57.29}{\tan {89.5}^{\circ }}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$

この式の中辺と右辺の分母を払うと
$57.29\times 2<\tan {89.5}^{\circ }$
より
$114.58<\tan {89.5}^{\circ }$
であることが分かる。

よって、$\tan {89.5}^{\circ }$の値として正しいのは、解答群のうち
⑨
である。

解答ネ：9