まず、第1問 [1] と同様に、問題文の指示に従って公式を導く。
ここで作るのは、$\tan$ の2倍角の公式だ。

$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
なので、
$\tan 2x=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}$
である。

これに ２倍角の公式
$\left\{\begin{array}{l}
\sin 2x=2\sin x\cos x\\
\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x
\end{array}\right.$
を代入すると
$\tan 2x=\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^{2}x-\sin^{2}x}$
となる。

解答タ：８

この右辺の分母分子を$\cos^{2}x$で割ると
$$ \begin{align} \tan 2x&=\dfrac{2\cfrac{\sin x}{\cos x}}{1-\left(\cfrac{\sin x}{\cos x}\right)^{2}}\\ &=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^{2}x} \class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$ となって、$\tan$の２倍角の公式ができる。

解答チ：ｂ

また
$\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\dfrac{1}{\tan\alpha}$
だから、$\dfrac{\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)}$は
$\dfrac{\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)}=\dfrac{\cfrac{1}{\tan 2x}}{\cfrac{1}{\tan x}}$
とかける。

右辺を整理すると、これはさらに
$\dfrac{\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)}=\dfrac{\tan x}{\tan 2x}$
と変形できる。

これに式Ａを代入すると、
$$ \begin{align} \dfrac{\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)}&=\dfrac{\tan x}{\cfrac{2\tan x}{1-\tan^{2}x}}\\ &=\dfrac{1-\tan^{2}x}{2} \class{tex_formula}{①} \end{align} $$ と表せる。

解答ツ：６

$0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$
のとき、
$0 \lt \tan x \lt 1$
なので、
$0 \lt \tan^{2}x \lt 1$
とかける。

これを材料にして、①式の右辺をつくろう。

各辺に$-1$をかけて
$0 \gt -\tan^{2}x \gt -1$
各辺に$1$をたして、
$1 \gt 1-\tan^{2}x \gt 0$
各辺を$2$で割ると
$\dfrac{1}{2} \gt \dfrac{1-\tan^{2}x}{2} \gt 0$
となって、①式の右辺ができた。

ここまでくると勝ったも同然だ。

これに①式を代入して
$\dfrac{1}{2} \gt \dfrac{\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)} \gt 0$
この式の左右を入れかえると
$0 \lt \dfrac{\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)} \lt \dfrac{1}{2}$②
となって、②式の形になる。

解答テ：０, ト：５

$0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ のとき、
$\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)=\tan 89^{\circ}$を満たす$x$は、
$\dfrac{\pi}{2}-2x=89^{\circ}$
より
$90^{\circ}-2x=89^{\circ}$
$-2x=-1^{\circ}$
$x=0.5^{\circ}$
である。

度と弧度法（ラジアン）の変換を思い出すと、

復習

[ラジアン]$=\dfrac{\pi}{180}$[度] [度]$=\dfrac{180}{\pi}$[ラジアン]

だった。

復習より、$x=0.5^{\circ}$ は、弧度法では
$$ \begin{align} x&=\dfrac{0.5}{180}\pi\\ &=\dfrac{\pi}{360} \end{align} $$ と表せる。

解答ナ：３, ニ：６, ヌ：０

このとき、
$\left\{\begin{array}{l}
\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)=\tan 89^{\circ}\\
\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\tan 89.5^{\circ}
\end{array}\right.$
なので、②式は
$0 \lt \dfrac{\tan 89^{\circ}}{\tan 89.5^{\circ}} \lt \dfrac{1}{2}$
となる。

これに
$\tan 89^{\circ}=57.29$
を代入して
$0 \lt \dfrac{57.29}{\tan 89.5^{\circ}} \lt \dfrac{1}{2}$

この式の中辺と右辺の分母を払うと
$57.29\times 2 \lt \tan 89.5^{\circ}$
より
$114.58 \lt \tan 89.5^{\circ}$
であることが分かる。

よって、$\tan 89.5^{\circ}$の値として正しいのは、解答群のうち
⑨
である。

解答ネ：9