大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 追試 数学ⅠＡ 第２問 [2] 解説
(1)
「元の評点」が
$1,\textcolor{red}{2},\textcolor{red}{2},\textcolor{red}{3},\textcolor{red}{3},\textcolor{red}{3},\textcolor{red}{3},\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{4},5$
のとき、「調整後の評点」は赤い部分だ。
なので、「調整後の評点」の
平均値 $\overline{y}=3$
解答シ：３
分散 $t^{2}=\dfrac{1}{8}\left\{\begin{gather}(2-3)^{2}\cdot 2+(3-3)^{2}\cdot 4\\+(4-3)^{2}\cdot 2\end{gather}\right\}$
$\hspace{50px}=\dfrac{4}{8}=0.5$
解答ス：０, セ：５
である。
(2)
$n\geqq 5$ のとき、
$\textcolor{mediumseagreen}{x_{1}},\textcolor{red}{x_{2}},\textcolor{red}{\cdots},\textcolor{red}{x_{n-1}},\textcolor{mediumseagreen}{x_{n}}$
の、
除外した評点（緑の部分）の和を $A$
「調整後の評点」（赤い部分）の和を $B$
とすると、
「元の評点」の和は $A+B$ なので、
「元の評点」の平均値 $\overline{x}=\dfrac{A+B}{n}$式Ａ
緑の部分の平均値 $\overline{z}=\dfrac{A}{2}$
なので、
$A=2\overline{z}$式Ｂ
赤い部分の平均値 $\overline{y}=\dfrac{B}{n-2}$
なので、
$B=(n-2)\overline{y}$式Ｃ
表せる。
よって、式Ａに式Ｂ，式Ｃを代入すると
$$
\begin{align}
\overline{x}&=\dfrac{2\overline{z}+(n-2)\overline{y}}{n}\\
&=\dfrac{2}{n}\overline{z}+\dfrac{n-2}{n}\overline{y}
\end{align}
$$
となる。
解答ソ：５, タ：６
これを
$\overline{x}\leqq\overline{y}$
に代入すると、不等式
$\dfrac{2}{n}\overline{z}+\dfrac{n-2}{n}\overline{y} \; \leqq \; \overline{y}$
ができる。
これを整理すると
途中式
$\dfrac{2}{n}\overline{z} \; \leqq \; \overline{y}-\dfrac{n-2}{n}\overline{y}$
$\dfrac{2}{n}\overline{z} \; \leqq \, \left(1-\dfrac{n-2}{n}\right)\overline{y}$
$\dfrac{2}{n}\overline{z} \; \leqq \, \left(\dfrac{n}{n}-\dfrac{n-2}{n}\right)\overline{y}$
$\dfrac{2}{n}\overline{z} \; \leqq \; \dfrac{2}{n}\overline{y}$
とかける。
したがって、$\overline{x}\leqq\overline{y}$ が成り立つための必要十分条件は
$\overline{z}\leqq\overline{y}$
である。
解答チ：２
(3)
(i)
ここで、分散の復習をしておこう。
復習
データ $\left\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right\}$ の分散 $s^{2}$ は、
データの平均値を $\overline{x}$
データの各値の２乗の平均値を $\overline{x^{2}}$
とすると、
$$
\begin{align}
s^{2}&=\dfrac{1}{n}\left\{\begin{gathered}(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\\\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}\end{gathered}\right\}\class{tex_formula}{式Ｄ}\\
&=\overline{x^{2}}-\left(\overline{x}\right)^{2}\class{tex_formula}{式Ｅ}
\end{align}
$$
である。
スセでは、復習の式Ｄを使って分散を求めた。
ツでは、式Ｅを使う。
このふたつの式は問題によって使い分けるので、両方憶えておこう。
評点が
$\text{○},\overbrace{\underbrace{\textcolor{red}{a},\textcolor{red}{\cdots},\textcolor{red}{a}}_{m\text{個}},\underbrace{\textcolor{red}{b},\textcolor{red}{\cdots},\textcolor{red}{b}}_{(8-m)\text{個}}}^{8\text{個}},\text{○}$
の場合、
「調整後の評点」の平均値 $\overline{y}$ は
$\overline{y}=\dfrac{1}{8}\{ma+(8-m)b\}$
である。
よって、「調整後の評点」の分散 $t^{2}$ は、復習の式Ｅを使って、
$$
\begin{align}
t^{2}=\dfrac{1}{8}\{ma^{2}&+(8-m)b^{2}\}\\&-\left[\dfrac{1}{8}\{ma+(8-m)b\}\right]^{2}
\end{align}
$$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{t^{2}}&=\dfrac{1}{8^{2}}\left[\begin{split}&8\left\{ma^{2}+(8-m)b^{2}\right\}\\&\qquad-\left\{ma+(8-m)b\right\}^{2}\end{split}\right]\\
&=\dfrac{1}{8^{2}}\left\{\begin{split}& 8ma^{2}+8(8-m)b^{2}\\&-m^{2}a^{2}-2m(8-m)ab-(8-m)^{2}b^{2}\end{split}\right\}\\
&=\dfrac{1}{8^{2}}\left[\begin{split}&(8m-m^{2})a^{2}-2m(8-m)ab\\&\qquad+(8-m)\{8-(8-m)\}b^{2}\end{split}\right]\\
&=\dfrac{1}{8^{2}}\left\{\begin{gathered}m(8-m)a^{2}-2m(8-m)ab\\+m(8-m)b^{2}\end{gathered}\right\}\\
&=\dfrac{m(8-m)}{8^{2}}(a^{2}-2ab+b^{2})
\end{align}
$$
となる。
解答ツ：４
(ii)
最後は、「調整後の評点」の分散 $t^{2}$ が最大の選手を答える問題だ。
あ～えの選手それぞれについて、式Ｆを使って $t^{2}$ を求めよう。
あ
あの選手の「調整後の評点」は、
$1,\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{5},\textcolor{red}{5},\textcolor{red}{5},\textcolor{red}{5},5$
の赤い部分だから、
$4$が$4$個 $5$が$4$個 だ。
なので、式Ｆより、分散は
$$
\begin{align}
t^{2}&=\dfrac{4(8-4)(4-5)^{2}}{64}\\
&=\dfrac{16}{64}
\end{align}
$$
である。
い
いの選手の「調整後の評点」は、
$1,\textcolor{red}{3},\textcolor{red}{3},\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{4},5$
の赤い部分だから、
$3$が$2$個 $4$が$6$個 だ。
なので、式Ｆより、分散は
$$
\begin{align}
t^{2}&=\dfrac{2(8-2)(3-4)^{2}}{64}\\
&=\dfrac{12}{64}
\end{align}
$$
である。
う
うの選手の「調整後の評点」は、
$1,\textcolor{red}{2},\textcolor{red}{2},\textcolor{red}{2},\textcolor{red}{2},\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{4},\textcolor{red}{4},4$
の赤い部分だから、
$2$が$4$個 $4$が$4$個 だ。
なので、式Ｆより、分散は
$$
\begin{align}
t^{2}&=\dfrac{4(8-4)(2-4)^{2}}{64}\\
&=\dfrac{64}{64}
\end{align}
$$
である。
え
えの選手の「調整後の評点」は、
$1,\textcolor{red}{1},\textcolor{red}{1},\textcolor{red}{1},\textcolor{red}{1},\textcolor{red}{1},\textcolor{red}{1},\textcolor{red}{3},\textcolor{red}{3},4$
の赤い部分だから、
$1$が$6$個 $3$が$2$個 だ。
なので、式Ｆより、分散は
$$
\begin{align}
t^{2}&=\dfrac{6(8-6)(1-3)^{2}}{64}\\
&=\dfrac{48}{64}
\end{align}
$$
である。
以上より、分散 $t^{2}$ が最も大きい選手は
う
であることが分かる。
解答テ：２