ここで、分散の復習をしておこう。

復習

データ $\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$ の分散 $s^2$ は、
データの平均値を $\bar{x}$ データの各値の２乗の平均値を $\overline{x^2}$ とすると、
$$\begin{array}{rl}{s}^2& ={\displaystyle \frac{1}{n}}\left\{\begin{array}{c}(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\\ \cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2\end{array}\right\}\mathrm{式}Ｄ\\ & =\overline{x^2}-{\left(\bar{x}\right)}^2\mathrm{式}Ｅ\end{array}$$ である。

スセでは、復習の式Ｄを使って分散を求めた。
ツでは、式Ｅを使う。
このふたつの式は問題によって使い分けるので、両方憶えておこう。

評点が
$\text{○},\stackrel{8\text{個}}{\overbrace{\underset{m\text{個}}{\underbrace{a,\cdots ,a}},\underset{(8-m)\text{個}}{\underbrace{b,\cdots ,b}}}},\text{○}$
の場合、

「調整後の評点」の平均値 $\bar{y}$ は
$\bar{y}={\displaystyle \frac{1}{8}}\{ma+(8-m)b\}$
である。

よって、「調整後の評点」の分散 $t^2$ は、復習の式Ｅを使って、
$$\begin{array}{rl}{t}^2={\displaystyle \frac{1}{8}}\{m{a}^2& +(8-m)b^2\}\\ & -{[{\displaystyle \frac{1}{8}}\{ma+(8-m)b\}]}^2\end{array}$$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{t^2}& ={\displaystyle \frac{1}{8^2}}\left[\begin{array}{rl}& 8\{m{a}^2+(8-m)b^2\}\\ & -{\{ma+(8-m)b\}}^2\end{array}\right]\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8^2}}\left\{\begin{array}{rl}& 8m{a}^2+8(8-m)b^2\\ & -m^2{a}^2-2m(8-m)ab\\ & -(8-m{)}^2{b}^2\end{array}\right\}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8^2}}\left[\begin{array}{rl}& (8m-m^2)a^2-2m(8-m)ab\\ & +(8-m)\{8-(8-m)\}{b}^2\end{array}\right]\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8^2}}\left\{\begin{array}{c}m(8-m)a^2-2m(8-m)ab\\ +m(8-m)b^2\end{array}\right\}\\ & ={\displaystyle \frac{m(8-m)}{8^2}}(a^2-2ab+b^2)\end{array}$$

$\phantom{t^2}={\displaystyle \frac{m(8-m)(a-b{)}^2}{64}}$式Ｆ
となる。

解答ツ：４

最後は、「調整後の評点」の分散 $t^2$ が最大の選手を答える問題だ。
あ～えの選手それぞれについて、式Ｆを使って $t^2$ を求めよう。

あの選手の「調整後の評点」は、
$1,4,4,4,4,5,5,5,5,5$
の赤い部分だから、

$4$が$4$個 $5$が$4$個 だ。

なので、式Ｆより、分散は
$$\begin{array}{rl}{t}^2& ={\displaystyle \frac{4(8-4)(4-5{)}^2}{64}}\\ & ={\displaystyle \frac{16}{64}}\end{array}$$ である。

いの選手の「調整後の評点」は、
$1,3,3,4,4,4,4,4,4,5$
の赤い部分だから、

$3$が$2$個 $4$が$6$個 だ。

なので、式Ｆより、分散は
$$\begin{array}{rl}{t}^2& ={\displaystyle \frac{2(8-2)(3-4{)}^2}{64}}\\ & ={\displaystyle \frac{12}{64}}\end{array}$$ である。

うの選手の「調整後の評点」は、
$1,2,2,2,2,4,4,4,4,4$
の赤い部分だから、

$2$が$4$個 $4$が$4$個 だ。

なので、式Ｆより、分散は
$$\begin{array}{rl}{t}^2& ={\displaystyle \frac{4(8-4)(2-4{)}^2}{64}}\\ & ={\displaystyle \frac{64}{64}}\end{array}$$ である。

えの選手の「調整後の評点」は、
$1,1,1,1,1,1,1,3,3,4$
の赤い部分だから、

$1$が$6$個 $3$が$2$個 だ。

なので、式Ｆより、分散は
$$\begin{array}{rl}{t}^2& ={\displaystyle \frac{6(8-6)(1-3{)}^2}{64}}\\ & ={\displaystyle \frac{48}{64}}\end{array}$$ である。