問題文中の参考図に 垂心$\mathrm{H}$ と点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$ を書き込むと、図Ａができる。

また、点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ を書き込むと図Ｂができる。

図Ｂの３本の紫の線はすべて円$\mathrm{O}$の直径だ。
直径に対する円周角は直角なので、直角がたくさんできる。

この二つの図を見ると、直線$\mathrm{AC}$は、
図Ａより、直線$\mathrm{BH}$ 図Ｂより、直線$\mathrm{AR}$，直線$\mathrm{CP}$ と垂直である。

解答ア：２

また、直線$\mathrm{BC}$は
図Ａより、直線$\mathrm{AH}$ 図Ｂより、直線$\mathrm{BR}$，直線$\mathrm{CQ}$ と垂直である。

解答イ：６

さらに、図Ｃのように
$\{\begin{array}{l}\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=4:1\\ \mathrm{AE}:\mathrm{EC}=2:3\end{array}$
のときを考える。

図Ｃの緑の三角形（△$\mathrm{ADC}$）と赤い直線（$\mathrm{BE}$）にメネラウスの定理を使うと、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HD}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}}=1$
とかける。

これに各辺の比を代入すると、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HD}}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{4+1}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}=1$
より
${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HD}}}\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot 3}{5}}=1$
${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HD}}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$
となる。

解答ウ：５, エ：６

以上より、次のことが分かる。
$\mathrm{AH}:\mathrm{HD}=5:6$ $\mathrm{AC}$⊥$\mathrm{AR}$，$\mathrm{AC}$⊥$\mathrm{BH}$ なので、
$\mathrm{AR}$ ∥ $\mathrm{BH}$ $\mathrm{BC}$⊥$\mathrm{AH}$，$\mathrm{BC}$⊥$\mathrm{BR}$ なので、
$\mathrm{AH}$ ∥ $\mathrm{BR}$

これを書き込むと、図Ｄができる。

問題では、図Ｄの赤い三角形（△$\mathrm{ARB}$）の面積について問われている。
これを直接考えるのは難しいので、赤い三角形と面積が等しい他の三角形を探しそう。

$\mathrm{AR}$ ∥ $\mathrm{BH}$，$\mathrm{AH}$ ∥ $\mathrm{BR}$ だから、四角形$\mathrm{ARBH}$（図Ｄの緑の四角形）は平行四辺形だ。
平行四辺形の対角線は面積を二等分するから、
赤い三角形$=$斜線の三角形（△$\mathrm{BHA}$）
である。

ということで、赤い三角形の代わりに斜線の三角形を考える。

$$\begin{array}{rl}\mathrm{AH}:\mathrm{AD}& =5:5+6\\ & =5:11\end{array}$$ なので、
斜線の三角形 $:$ 黄色い三角形$=5:11$
だから
斜線の三角形$={\displaystyle \frac{5}{11}}$黄色い三角形式Ａ

$$\begin{array}{rl}\mathrm{BD}:\mathrm{BC}& =4:4+1\\ & =4:5\end{array}$$ なので、
黄色い三角形 $:$ △$\mathrm{ABC}=4:5$
だから
黄色い三角形$={\displaystyle \frac{4}{5}}$△$\mathrm{ABC}$式Ｂ

とかける。

式Ａ，式Ｂより
斜線の三角形$={\displaystyle \frac{5}{11}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}$△$\mathrm{ABC}$
斜線の三角形$={\displaystyle \frac{4}{11}}$△$\mathrm{ABC}$
となるので、
△$\mathrm{ARB}$（赤い三角形）$={\displaystyle \frac{4}{11}}$△$\mathrm{ABC}$
である。

解答オ：４, カ：１, キ：１

図Ｆより、
$\mathrm{\angle }\mathrm{OAI}=\mathrm{\angle }\mathrm{IAB}-\mathrm{\angle }\mathrm{BAO}$（赤丸の角$-$オレンジの角）
$\mathrm{\angle }\mathrm{HAI}=\mathrm{\angle }\mathrm{IAC}-\mathrm{\angle }\mathrm{CAH}$（赤丸の角$-$オレンジの角）
なので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{OAI}=\mathrm{\angle }\mathrm{HAI}$
である。

よって、直線$\mathrm{AO}$（図Ｆの紫の線）と直線$\mathrm{AH}$（緑の線）は、直線$\mathrm{AI}$（青い線）に関して対称である。
命題（ａ）は真だ。

図Ｆの外心$\mathrm{O}$と垂心$\mathrm{H}$は、直線$\mathrm{AI}$（青い線）に関して 明らかに対称ではないように見える。
なので、命題（ｂ）は偽っぽい。

けれど、これは図が不正確なためかも知れないし。
ここでは、念のためにちゃんと考えておく。

外心$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を点$\mathrm{S}$とする。

外心$\mathrm{O}$と垂心$\mathrm{H}$が 直線$\mathrm{AI}$に関して対称だと仮定すると、
$\mathrm{AO}=\mathrm{AH}$
になる。

図Ｆのオレンジの角は等しいから、このとき、図Ｆの青い三角形と緑の三角形は合同だ。
なので、
$\mathrm{AS}=\mathrm{AE}$
である。

また、三角形の外心の性質から、
$\mathrm{AB}=2\mathrm{AS}$
と表せる。

よって
$\mathrm{AB}=2\mathrm{AE}$
となり、図Ｆの赤い三角形は、辺の比が
$1:2:\sqrt{3}$
の直角三角形になる。

よって、
命題（ｂ）が成り立つ$\Rightarrow \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}={60}^{\circ }$
であることが分かる。

したがって、
$\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}\ne {60}^{\circ }$
のときには命題（ｂ）は成り立たないので、命題（ｂ）は偽である。