大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 追試数学ⅠＡ第２問 [1] 解説

(1)

(i)

$x^{2} + 2 x - 8 < 0$
は
$(x + 4) (x - 2) < 0$
と変形できるから、解は
$- 4 < x < 2$
となる。

解答ア：－, イ：４, ウ：２

したがって、

$- 4 < x < 2$ のとき
①式の絶対値をはずすと
$\begin{aligned} y & = \frac{1}{8} (- x^{2} - 2 x + 8) + \frac{1}{8} (x^{2} - 6 x) \\ = \frac{1}{8} (- 8 x + 8) \\ = - x + 1 \end{aligned}$ なので、この区間でグラフは右下がりの直線

$x ≦ - 4$ ， $2 ≦ x$ のとき

①式の絶対値をはずすと
$\begin{aligned} y & = \frac{1}{8} (x^{2} + 2 x - 8) + \frac{1}{8} (x^{2} - 6 x) \\ = \frac{1}{8} (2 x^{2} - 4 x - 8) \\ = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x - 1 式Ａ \end{aligned}$ なので、この区間でグラフは下に凸の放物線

であることが分かる。

(ii)

復習

二次関数
$y = a x^{2} + b x + c$
の頂点の $x$ 座標は
$\frac{- b}{2 a}$
である。

復習より、式Ａのグラフの頂点の $x$ 座標は
$\begin{aligned} x & = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{4}} \\ = 1 \end{aligned}$ である。

解答エ：１

これを式Ａに代入して、頂点の $y$ 座標は
$\begin{aligned} y & = \frac{1}{4} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \\ = - \frac{5}{4} \end{aligned}$ となる。

解答オ：－, カ：５, キ：４

別解

平方完成して解くと、次のような計算になる。

式Ａを平方完成すると

途中式

\begin{aligned} y & = \frac{1}{4} (x^{2} - 2 x) - 1 \\ = \frac{1}{4} {(x - 1)^{2} - 1} - 1 \\ = \frac{1}{4} (x - 1)^{2} - \frac{1}{4} - 1 \end{aligned}

より

y = \frac{1}{4} (x - 1)^{2} - \frac{5}{4}

なので、式Ａのグラフの頂点の座標は

(1, - \frac{5}{4})

である。

解答エ：１, オ：－, カ：５, キ：４

(iii)

(i)で、①のグラフは
$- 4 < x < 2$ のとき、右下がりの直線 $x ≦ - 4$ ， $2 ≦ x$ のとき、下に凸の放物線であることが分かっている。

つまり、
下に凸の放物線のグラフが、 $- 4 < x < 2$ の部分だけ右下がりの直線になった形だ。

これに当てはまるグラフの概形は、選択肢の
①
しかない。

解答ク：１

(2)

(2)も (1)(iii)と同じようにグラフの概形を答える問題だけど、花子さんと太郎さんの会話を読むと「楽な方法を探せ」ということらしい。
なので、(1)での作業も振り返りながら、花子さんと太郎さんの会話をちょっと考えてみよう。

花子さんと太郎さんの会話から、②式は
絶対値の中 $< 0$ のとき、 $x$ の係数が正の１次関数絶対値の中 $> 0$ のとき、 $x^{2}$ の係数が負の２次関数になるみたいだ。

図の固定

また、そのグラフは、図Ａのように
真ん中(オレンジの部分)が
右上がりの直線両側(緑の部分)が
上に凸の放物線になるらしい。

つまり、②式の場合、
絶対値の中 $< 0$ のときの式が、
グラフの真ん中部分の式絶対値の中 $> 0$ のときの式が、
グラフの両側部分の式 (※) になるようだ。

(1)での作業を振り返ってみると、①式の場合も(※)になった。
考えてみると、これは偶然じゃない。

絶対値の中の式を $f (x)$ とすると、①式，②式ともに $f (x)$ は $x^{2}$ の係数が正の二次式で、 $y = f (x)$ のグラフは下に凸の放物線だ。
この $y = f (x)$ と $x$ 軸が異なる２点 $(α, 0)$ ， $(β, 0)$ で交わる場合、
$f (x) < 0$ の解は $α < x < β$ だから、
このときの式がグラフの真ん中部分 $f (x) > 0$ の解は $x < α$ ， $β < x$ だから、
このときの式がグラフの両側部分になる（ $α < β$ とする）。

よって、絶対値の中が二次式で $x^{2}$ の係数が正のときは(※)になる。

アドバイス

$f (x)$ が二次式で $x^{2}$ の係数が正であっても、 $y = f (x)$ と $x$ 軸が接したり共有点がなかったりする場合、(※)は成り立たない。

この場合、絶対値の中はつねに $0$ 以上なので、絶対値をはずすのに場合分けは必要ない。
したがって、絶対値をはずした式はひとつしかできないから、グラフはただの直線や放物線になる。

ところが、ケ～サの選択肢の中にただの直線や放物線はない。
つまり、出題されている関数に(※)が成り立たないものは含まれていない。

そのため、ここでは (※)が成り立たない場合は考えない。

また、概形が分かればいいので、グラフの式は
最高次の項だけ求めればよい(※※) ことが分かる。

以下、(※)，(※※) を基本方針として解いてゆこう。

ケ

花子さんと太郎さんの会話から、②式のグラフは図Ａのような形だと考えられる。
なので、ケの答えは ③ だと分かっているけれど、せっかくだから上の方針で解いておく。

②式を変形すると
$y = \frac{1}{8} (- | x^{2} - 9 | - x^{2} + 8 x)$
とかける。

この式の絶対値をはずすと、

絶対値の中が負のとき、 $\begin{aligned} y & = \frac{1}{8} (x^{2} - 9 - x^{2} + 8 x) \\ = \frac{1}{8} (8 x \dots 以下略) 式Ｂ \end{aligned}$

絶対値の中が正のとき、 $\begin{aligned} y & = \frac{1}{8} (- x^{2} + 9 - x^{2} + 8 x) \\ = \frac{1}{8} (- 2 x^{2} \dots 以下略) 式Ｃ \end{aligned}$

となる。

②式の絶対値の中は二次式で $x^{2}$ の係数が正なので、(※)より、グラフは
真ん中部分は式Ｂで、右上がりの直線
両側部分は式Ｃで、上に凸の放物線だ。

これに当てはまるグラフの概形は、選択肢の
③
である。

解答ケ：３

コ

$y = \frac{1}{8} | x^{2} - 9 | - \frac{1}{8} x^{2} + x$ 式Ｄ
を変形すると
$y = \frac{1}{8} (| x^{2} - 9 | - x^{2} + 8 x)$
とかける。

この式の絶対値をはずすと、

絶対値の中が負のとき、 $\begin{aligned} y & = \frac{1}{8} (- x^{2} + 9 - x^{2} + 8 x) \\ = \frac{1}{8} (- 2 x^{2} \dots 以下略) 式Ｅ \end{aligned}$

絶対値の中が正のとき、 $\begin{aligned} y & = \frac{1}{8} (x^{2} - 9 - x^{2} + 8 x) \\ = \frac{1}{8} (8 x \dots 以下略) 式Ｆ \end{aligned}$

となる。

式Ｄの絶対値の中は二次式で $x^{2}$ の係数が正なので、(※)より、グラフは
真ん中部分は式Ｅで、上に凸の放物線
両側部分は式Ｆで、右上がりの直線だ。

これに当てはまるグラフの概形は、選択肢の
⑧
である。

解答コ：８

サ

$y = \frac{1}{8} | x^{2} + 2 \sqrt{5} x - 4 | + \frac{1}{8} (x^{2} + 2 \sqrt{5} x)$
式Ｇ
を変形すると
$y = \frac{1}{8} (| x^{2} + 2 \sqrt{5} x - 4 | + x^{2} + 2 \sqrt{5} x)$
とかける。

この式の絶対値をはずすと、

絶対値の中が負のとき、 $\begin{aligned} y & = \frac{1}{8} (- x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 4 + x^{2} + 2 \sqrt{5} x) \\ = \frac{1}{8} \cdot 4 式Ｈ \end{aligned}$

絶対値の中が正のとき、 $\begin{aligned} y & = \frac{1}{8} (x^{2} + 2 \sqrt{5} x - 4 + x^{2} + 2 \sqrt{5} x) \\ = \frac{1}{8} (2 x^{2} \dots 以下略) 式Ｉ \end{aligned}$

となる。

式Ｇの絶対値の中は二次式で $x^{2}$ の係数が正なので、(※)より、グラフは
真ん中部分は式Ｈで、 $x$ 軸に平行な直線
両側部分は式Ｉで、下に凸の放物線だ。

これに当てはまるグラフの概形は、選択肢の
②
である。

解答サ：２

第１問	[1]	解説
第１問	[2]	解説
第２問		解説
第３問		解説
第４問		解説
第５問		解説