大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 追試 数学ⅠＡ 第２問 [1] 解説
(1)
(i)
$x^{2}+2x-8 \lt 0$
は
$(x+4)(x-2) \lt 0$
と変形できるから、解は
$-4 \lt x \lt 2$
となる。
解答ア：－, イ：４, ウ：２
したがって、
$-4 \lt x \lt 2$のとき
①式の絶対値をはずすと
$$
\begin{align}
y&=\dfrac{1}{8}(-x^{2}-2x+8)+\dfrac{1}{8}(x^{2}-6x)\\
&=\dfrac{1}{8}(-8x+8)\\
&=-x+1
\end{align}
$$
なので、この区間でグラフは右下がりの直線
$x\leqq-4$，$2\leqq x$のとき
①式の絶対値をはずすと
$$
\begin{align}
y&=\dfrac{1}{8}(x^{2}+2x-8)+\dfrac{1}{8}(x^{2}-6x)\\
&=\dfrac{1}{8}(2x^{2}-4x-8)\\
&=\dfrac{1}{4}x^{2}-\dfrac{1}{2}x-1\class{tex_formula}{式Ａ}
\end{align}
$$
なので、この区間でグラフは下に凸の放物線
であることが分かる。
(ii)
復習
二次関数
$y=ax^2+bx+c$
の頂点の$x$座標は
$\dfrac{-b}{2a}$
である。
復習より、式Ａのグラフの頂点の$x$座標は
$$
\begin{align}
x&=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2\cdot\dfrac{1}{4}}\\
&=1
\end{align}
$$
である。
解答エ：１
これを式Ａに代入して、頂点の$y$座標は
$$
\begin{align}
y&=\dfrac{1}{4}\cdot 1^{2}-\dfrac{1}{2}\cdot 1-1\\
&=-\dfrac{5}{4}
\end{align}
$$
となる。
解答オ：－, カ：５, キ：４
別解
平方完成して解くと、次のような計算になる。
式Ａを平方完成すると
途中式
$$
\begin{align}
y&=\dfrac{1}{4}(x^{2}-2x)-1\\
&=\dfrac{1}{4}\left\{(x-1)^{2}-1\right\} -1\\
&=\dfrac{1}{4}(x-1)^{2}-\dfrac{1}{4} -1\\
\end{align}
$$
より
なので、式Ａのグラフの頂点の座標は
$\left(1,-\dfrac{5}{4}\right)$
である。
解答エ：１, オ：－, カ：５, キ：４
(iii)
(i)で、①のグラフは
$-4 \lt x \lt 2$のとき、右下がりの直線
$x\leqq-4$，$2\leqq x$のとき、下に凸の放物線
であることが分かっている。
つまり、
下に凸の放物線のグラフが、$-4 \lt x \lt 2$の部分だけ右下がりの直線になった形
だ。
これに当てはまるグラフの概形は、選択肢の
①
しかない。
解答ク：１
(2)
(2)も (1)(iii)と同じようにグラフの概形を答える問題だけど、花子さんと太郎さんの会話を読むと「楽な方法を探せ」ということらしい。
なので、(1)での作業も振り返りながら、花子さんと太郎さんの会話をちょっと考えてみよう。
花子さんと太郎さんの会話から、②式は
絶対値の中$ \lt 0$ のとき、$x$の係数が正の１次関数
絶対値の中$ \gt 0$ のとき、$x^{2}$の係数が負の２次関数
になるみたいだ。
![大学入学共通テスト2024年追試 数学ⅠＡ第２問[1] 解説図Ａ](_image/1A_2_1_01.svg)
また、そのグラフは、図Ａのように
真ん中(オレンジの部分)が
$\hspace{40px}$右上がりの直線
両側(緑の部分)が
$\hspace{40px}$上に凸の放物線
になるらしい。
つまり、②式の場合、
絶対値の中$ \lt 0$ のときの式が、
$\hspace{40px}$グラフの真ん中部分の式
絶対値の中$ \gt 0$ のときの式が、
$\hspace{40px}$グラフの両側部分の式
(※)
になるようだ。
(1)での作業を振り返ってみると、①式の場合も(※)になった。
考えてみると、これは偶然じゃない。
絶対値の中の式を $f(x)$ とすると、①式，②式ともに $f(x)$ は $x^{2}$の係数が正の二次式で、$y=f(x)$ のグラフは下に凸の放物線だ。
この $y=f(x)$ と $x$軸が異なる２点$(\alpha,0)$，$(\beta,0)$で交わる場合、
$f(x) \lt 0$ の解は $\alpha \lt x \lt \beta$ だから、
$\hspace{40px}$このときの式がグラフの真ん中部分
$f(x) \gt 0$ の解は $ x \lt \alpha$，$\beta \lt x$ だから、
$\hspace{40px}$このときの式がグラフの両側部分
になる（$\alpha \lt \beta$ とする）。
よって、絶対値の中が二次式で $x^{2}$ の係数が正のときは(※)になる。
アドバイス
$f(x)$が二次式で $x^{2}$ の係数が正であっても、$y=f(x)$ と$x$軸が接したり共有点がなかったりする場合、(※)は成り立たない。
この場合、絶対値の中はつねに$0$以上なので、絶対値をはずすのに場合分けは必要ない。
したがって、絶対値をはずした式はひとつしかできないから、グラフはただの直線や放物線になる。
ところが、ケ～サの選択肢の中に ただの直線や放物線はない。
つまり、出題されている関数に(※)が成り立たないものは含まれていない。
そのため、ここでは (※)が成り立たない場合は考えない。
また、概形が分かればいいので、グラフの式は
最高次の項だけ求めればよい(※※)
ことが分かる。
以下、(※)，(※※) を基本方針として解いてゆこう。
ケ
花子さんと太郎さんの会話から、②式のグラフは図Ａのような形だと考えられる。
なので、ケの答えは ③ だと分かっているけれど、せっかくだから上の方針で解いておく。
②式を変形すると
$y=\dfrac{1}{8}\left(-\left|x^{2}-9\right|-x^{2}+8x\right)$
とかける。
この式の絶対値をはずすと、
絶対値の中が負のとき、 $$ \begin{align} y&=\dfrac{1}{8}(\textcolor{tomato}{\cancel{\textcolor{black}{x^{2}}}}-9-\textcolor{tomato}{\cancel{\textcolor{black}{x^{2}}}}+8x)\\ &=\dfrac{1}{8}(8x\cdots \text{以下略})\class{tex_formula}{式Ｂ} \end{align} $$
絶対値の中が正のとき、 $$ \begin{align} y&=\dfrac{1}{8}(-x^{2}+9-x^{2}+8x)\\ &=\dfrac{1}{8}(-2x^{2}\cdots \text{以下略})\class{tex_formula}{式Ｃ} \end{align} $$
となる。
②式の絶対値の中は二次式で $x^{2}$の係数が正なので、(※)より、グラフは
真ん中部分は式Ｂで、右上がりの直線
両側部分は式Ｃで、上に凸の放物線
だ。
これに当てはまるグラフの概形は、選択肢の
③
である。
解答ケ：３
コ
$y=\dfrac{1}{8}\left|x^{2}-9\right|-\dfrac{1}{8}x^{2}+x$式Ｄ
を変形すると
$y=\dfrac{1}{8}\left(\left|x^{2}-9\right|-x^{2}+8x\right)$
とかける。
この式の絶対値をはずすと、
絶対値の中が負のとき、 $$ \begin{align} y&=\dfrac{1}{8}(-x^{2}+9-x^{2}+8x)\\ &=\dfrac{1}{8}(-2x^{2}\cdots \text{以下略})\class{tex_formula}{式Ｅ} \end{align} $$
絶対値の中が正のとき、 $$ \begin{align} y&=\dfrac{1}{8}(\textcolor{tomato}{\cancel{\textcolor{black}{x^{2}}}}-9-\textcolor{tomato}{\cancel{\textcolor{black}{x^{2}}}}+8x)\\ &=\dfrac{1}{8}(8x\cdots \text{以下略})\class{tex_formula}{式Ｆ} \end{align} $$
となる。
式Ｄの絶対値の中は二次式で $x^{2}$の係数が正なので、(※)より、グラフは
真ん中部分は式Ｅで、上に凸の放物線
両側部分は式Ｆで、右上がりの直線
だ。
これに当てはまるグラフの概形は、選択肢の
⑧
である。
解答コ：８
サ
$y=\dfrac{1}{8}\left|x^{2}+2\sqrt{5}x-4\right|+\dfrac{1}{8}(x^{2}+2\sqrt{5}x)$
式Ｇ
を変形すると
$y=\dfrac{1}{8}\left(\left|x^{2}+2\sqrt{5}x-4\right|+x^{2}+2\sqrt{5}x\right)$
とかける。
この式の絶対値をはずすと、
絶対値の中が負のとき、 $$ \begin{align} y&=\dfrac{1}{8}(-\textcolor{tomato}{\cancel{\textcolor{black}{x^{2}}}}-\textcolor{green}{\cancel{\textcolor{black}{2\sqrt{5}x}}}+4+\textcolor{tomato}{\cancel{\textcolor{black}{x^{2}}}}+\textcolor{green}{\cancel{\textcolor{black}{2\sqrt{5}x}}})\\ &=\dfrac{1}{8}\cdot 4\class{tex_formula}{式Ｈ} \end{align} $$
絶対値の中が正のとき、 $$ \begin{align} y&=\dfrac{1}{8}(x^{2}+2\sqrt{5}x-4+x^{2}+2\sqrt{5}x)\\ &=\dfrac{1}{8}(2x^{2}\cdots \text{以下略})\class{tex_formula}{式Ｉ} \end{align} $$
となる。
式Ｇの絶対値の中は二次式で $x^{2}$の係数が正なので、(※)より、グラフは
真ん中部分は式Ｈで、$x$軸に平行な直線
両側部分は式Ｉで、下に凸の放物線
だ。
これに当てはまるグラフの概形は、選択肢の
②
である。
解答サ：２