大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 追試数学ⅡＢ第１問 [1] 解説

(1)

(1)では、公式を使わずに対数の底を変換する。
と言うと大変そうだけど、問題文が上手に誘導してくれているから大丈夫。
流れに乗って解こう。

まず、指数関数と対数関数の関係の復習から。

復習

$0 < a$ ， $a \neq 1$ ， $0 < b$ のとき、
$\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b$

復習より、
$t = \log_{3} x$
は、
$x = 3^{t}$
と変形できる。

解答ア：２

この式の両辺の $2$ を底とする対数をとると、
$\begin{aligned} \log_{2} x & = \log_{2} 3^{t} \\ = t \log_{2} 3 \end{aligned}$ とかける。

解答イ：２

この両辺を $\log_{2} 3$ で割って
$\frac{\log_{2} x}{\log_{2} 3} = t$
と変形してから $t$ をもとに戻すと、 $\log_{3} x$ は
$\log_{3} x = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 3}$ 式A
と表せる。

解答ウ：４

(2)

(i)

まず、対数の底を $2$ にそろえる。

$f (x) = \log_{2} x + \log_{3} x$
に式Aを代入すると、
$\begin{aligned} f (x) & = \log_{2} x + \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 3} \\ = (1 + \frac{1}{\log_{2} 3}) \log_{2} x \end{aligned}$ だから、
$A = 1 + \frac{1}{\log_{2} 3}$ 式Ｂ
である。

解答エ：ａ

$g (x) = (\log_{2} x) \cdot (\log_{3} x)$
に式Ａを代入すると、
$\begin{aligned} g (x) & = (\log_{2} x) \cdot (\frac{\log_{2} x}{\log_{2} 3}) \\ = \frac{1}{\log_{2} 3} {(\log_{2} x)}^{2} \end{aligned}$ だから、
$B = \frac{1}{\log_{2} 3}$ 式Ｃ
である。

解答オ：５

$0 < \log_{2} 3$ なので、
$0 < A$ $0 < B$ だ。

また、
$X = \log_{2} x$
とおくと、 $X$ の範囲はすべての実数で、
${\begin{cases} f (x) = A X \\ g (x) = B X^{2} \end{cases}$ 式Ｄ
となる。

不等式①の
$f (x) > g (x)$ ①
に式Ｄを代入すると、
$A X > B X^{2}$
より
$B X^{2} - A X < 0$
とかける。

これはさらに、
$X (B X - A) < 0$
となり、この両辺を $B$ で割ると、 $0 < B$ なので
$X (X - \frac{A}{B}) < 0$
と表せる。

いま、 $0 < A$ ， $0 < B$ より $0 < \frac{A}{B}$ だから、この不等式の解は
$0 < X < \frac{A}{B}$ 式Ｅ
だ。

この式の右辺は、式Ａ，式Ｂより
$\frac{A}{B} = \frac{1 + \frac{1}{\log_{2} 3}}{\frac{1}{\log_{2} 3}}$
だけど、繁分数の分母分子に $\log_{2} 3$ をかけると
$\frac{A}{B} = \log_{2} 3 + 1$ 式Ｆ
と変形できる。

したがって、式Ｅは
$0 < X < \log_{2} 3 + 1$ 式Ｇ
となる。

$X$ の定義域はすべての実数なので、この範囲すべてが不等式①の解だ。

解答カ：０, キ：８

これをを $x$ の範囲にする。

式Ｇの $X$ をもとにもどして、
$0 < \log_{2} x < \log_{2} 3 + 1$

これに
${\begin{cases} 1 = \log_{2} 2 \\ 0 = \log_{2} 1 \end{cases}$
を代入して、
$\log_{2} 1 < \log_{2} x < \log_{2} 3 + \log_{2} 2$
$\log_{2} 1 < \log_{2} x < \log_{2} (3 \cdot 2)$

この式の対数の底 $2$ は $1$ より大きいので、求める $x$ の範囲は
$1 < x < 6$
である。

解答ク：１, ケ：６

(ii)

今度は、 $\log_{\frac{1}{2}} x$ ， $\log_{\frac{1}{3}} x$ の底を $2$ ， $3$ に変換する。

$\begin{aligned} \log_{\frac{1}{2}} x & = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} \frac{1}{2}} \\ = \frac{\log_{2} x}{- 1} \\ = - \log_{2} x \end{aligned}$

解答コ：１

$\begin{aligned} \log_{\frac{1}{3}} x & = \frac{\log_{3} x}{\log_{3} \frac{1}{3}} \\ = \frac{\log_{3} x}{- 1} \\ = - \log_{3} x \end{aligned}$

よって、 $F (X)$ ， $G (X)$ は

$\begin{aligned} F (X) & = - \log_{2} x - \log_{3} x \\ = - (\log_{2} x + \log_{3} x) \\ = - f (x) \end{aligned}$

解答サ：１

$\begin{aligned} G (x) & = (- \log_{2} x) \cdot (- \log_{3} x) \\ = (\log_{2} x) \cdot (\log_{3} x) \\ = g (x) \end{aligned}$

解答シ：５

とかける。

サシより、不等式②は
$- f (x) > g (x)$ ②'
と書きかえられる。

ここからは、不等式①と同じように解こう。

不等式②'に式Ｄを代入すると、
$- A X > B X^{2}$
より
$B X^{2} + A X < 0$
とかける。

これはさらに、
$X (B X + A) < 0$
となり、この両辺を $B$ で割ると、 $0 < B$ なので
$X (X + \frac{A}{B}) < 0$
と表せる。

いま、 $0 < A$ ， $0 < B$ より $0 < \frac{A}{B}$ だから、この不等式の解は
$- \frac{A}{B} < X < 0$
だ。

これに式Ｆを代入すると、
$- (\log_{2} 3 + 1) < X < 0$ 式Ｈ
となる。

$X$ の定義域はすべての実数なので、この範囲すべてが不等式②の解だ。

この範囲を $x$ で表す。

式Ｈの $X$ をもとにもどして、
$- (\log_{2} 3 + 1) < \log_{2} x < 0$

これに
${\begin{cases} 1 = \log_{2} 2 \\ 0 = \log_{2} 1 \end{cases}$
を代入して、
$- (\log_{2} 3 + \log_{2} 2) < \log_{2} x < \log_{2} 1$
$\log_{2} {(3 \cdot 2)}^{- 1} < \log_{2} x < \log_{2} 1$
$\log_{2} \frac{1}{6} < \log_{2} x < \log_{2} 1$

この式の対数の底 $2$ は $1$ より大きいので、求める $x$ の範囲は
$\frac{1}{6} < x < 1$
である。

解答ス：１, セ：６, ソ：１

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