大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 追試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 解説
(1)
(1)では、公式を使わずに 対数の底を変換する。
と言うと大変そうだけど、問題文が上手に誘導してくれているから大丈夫。
流れに乗って解こう。
まず、指数関数と対数関数の関係の復習から。
復習
$0 \lt a$，$a\neq 1$，$0 \lt b$ のとき、
$\log_{a}b=c\ \Leftrightarrow\ a^{c}=b$
復習より、
$t=\log_{3}x$
は、
$x=3^{t}$
と変形できる。
解答ア：２
この式の両辺の$2$を底とする対数をとると、
$$
\begin{align}
\log_{2}x&=\log_{2}3^{t}\\
&=t\log_{2}3
\end{align}
$$
とかける。
解答イ：２
この両辺を $\log_{2}3$ で割って
$\dfrac{\log_{2}x}{\log_{2}3}=t$
と変形してから $t$をもとに戻すと、$\log_{3}x$ は
$\log_{3}x=\dfrac{\log_{2}x}{\log_{2}3}$式A
と表せる。
解答ウ：４
(2)
(i)
まず、対数の底を $2$ にそろえる。
$f(x)=\log_{2}x+\log_{3}x$
に式Aを代入すると、
$$
\begin{align}
f(x)&=\log_{2}x+\dfrac{\log_{2}x}{\log_{2}3}\\
&=\left(1+\dfrac{1}{\log_{2}3}\right)\log_{2}x
\end{align}
$$
だから、
$A=1+\dfrac{1}{\log_{2}3}$式Ｂ
である。
解答エ：ａ
$g(x)=\left(\log_{2}x\right)\cdot\left(\log_{3}x\right)$
に式Ａを代入すると、
$$
\begin{align}
g(x)&=\left(\log_{2}x\right)\cdot\left(\dfrac{\log_{2}x}{\log_{2}3}\right)\\
&=\dfrac{1}{\log_{2}3}\left(\log_{2}x\right)^{2}
\end{align}
$$
だから、
$B=\dfrac{1}{\log_{2}3}$式Ｃ
である。
解答オ：５
$0 \lt \log_{2}3$ なので、
$0 \lt A$
$0 \lt B$
だ。
また、
$X=\log_{2}x$
とおくと、$X$の範囲はすべての実数で、
$\left\{\begin{array}{l}
f(x)=AX\\
g(x)=BX^{2}
\end{array}\right.$式Ｄ
となる。
不等式①の
$f(x) \gt g(x)$ ①
に式Ｄを代入すると、
$AX \gt BX^{2}$
より
$BX^{2}-AX \lt 0$
とかける。
これはさらに、
$X(BX-A) \lt 0$
となり、この両辺を $B$ で割ると、$0 \lt B$ なので
$X \left( X-\dfrac{A}{B} \right) \lt 0$
と表せる。
いま、$0 \lt A$，$0 \lt B$ より $0 \lt \dfrac{A}{B}$ だから、この不等式の解は
$0 \lt X \lt \dfrac{A}{B}$式Ｅ
だ。
この式の右辺は、式Ａ，式Ｂより
$\dfrac{A}{B}=\dfrac{1+\cfrac{1}{\log_{2}3}}{\cfrac{1}{\log_{2}3}}$
だけど、繁分数の分母分子に $\log_{2}3$ をかけると
$\dfrac{A}{B}=\log_{2}3+1$式Ｆ
と変形できる。
したがって、式Ｅは
$0 \lt X \lt \log_{2}3+1$式Ｇ
となる。
$X$の定義域はすべての実数なので、この範囲すべてが不等式①の解だ。
解答カ：０, キ：８
これをを$x$の範囲にする。
式Ｇの$X$をもとにもどして、
$0 \lt \log_{2}x \lt \log_{2}3+1$
これに
$\left\{\begin{array}{l}
1=\log_{2}2\\
0=\log_{2}1
\end{array}\right.$
を代入して、
$\log_{2}1 \lt \log_{2}x \lt \log_{2}3+\log_{2}2$
$\log_{2}1 \lt \log_{2}x \lt \log_{2}(3\cdot 2)$
この式の対数の底 $2$は$1$より大きいので、求める$x$の範囲は
$1 \lt x \lt 6$
である。
解答ク：１, ケ：６
(ii)
今度は、$\log_{\frac{1}{2}}x$，$\log_{\frac{1}{3}}x$ の底を $2$，$3$ に変換する。
$$ \begin{align} \log_{\frac{1}{2}}x&=\dfrac{\log_{2}x}{\log_{2}\cfrac{1}{2}}\\ &=\dfrac{\log_{2}x}{-1}\\ &=-\log_{2}x \end{align} $$
解答コ：１
$$ \begin{align} \log_{\frac{1}{3}}x&=\dfrac{\log_{3}x}{\log_{3}\cfrac{1}{3}}\\ &=\dfrac{\log_{3}x}{-1}\\ &=-\log_{3}x \end{align} $$
よって、$F(X)$，$G(X)$ は
$$ \begin{align} F(X)&=-\log_{2}x-\log_{3}x\\ &=-\left(\log_{2}x+\log_{3}x\right)\\ &=-f(x) \end{align} $$
解答サ：１
$$ \begin{align} G(x)&=\left(-\log_{2}x\right)\cdot\left(-\log_{3}x\right)\\ &=\left(\log_{2}x\right)\cdot\left(\log_{3}x\right)\\ &=g(x) \end{align} $$
解答シ：５
とかける。
サシより、不等式②は
$-f(x) \gt g(x)$②'
と書きかえられる。
ここからは、不等式①と同じように解こう。
不等式②'に式Ｄを代入すると、
$-AX \gt BX^{2}$
より
$BX^{2}+AX \lt 0$
とかける。
これはさらに、
$X(BX+A) \lt 0$
となり、この両辺を $B$ で割ると、$0 \lt B$ なので
$X \left( X+\dfrac{A}{B} \right) \lt 0$
と表せる。
いま、$0 \lt A$，$0 \lt B$ より $0 \lt \dfrac{A}{B}$ だから、この不等式の解は
$-\dfrac{A}{B} \lt X \lt 0$
だ。
これに式Ｆを代入すると、
$-\left(\log_{2}3+1\right) \lt X \lt 0$式Ｈ
となる。
$X$の定義域はすべての実数なので、この範囲すべてが不等式②の解だ。
この範囲を$x$で表す。
式Ｈの$X$をもとにもどして、
$-\left(\log_{2}3+1\right) \lt \log_{2}x \lt 0$
これに
$\left\{\begin{array}{l}
1=\log_{2}2\\
0=\log_{2}1
\end{array}\right.$
を代入して、
$-\left(\log_{2}3+\log_{2}2\right) \lt \log_{2}x \lt \log_{2}1$
$\log_{2}\left(3\cdot 2\right)^{-1} \lt \log_{2}x \lt \log_{2}1$
$\log_{2}\dfrac{1}{6} \lt \log_{2}x \lt \log_{2}1$
この式の対数の底 $2$は$1$より大きいので、求める$x$の範囲は
$\dfrac{1}{6} \lt x \lt 1$
である。
解答ス：１, セ：６, ソ：１