いま、$x$，$y$ は整数なので、
式Ａの赤い部分の $2x-3$ は
偶数$-$奇数だから、奇数 式Ａの緑の部分の $y-2$ は
偶数でも奇数でもいい といえる。

さらに、式Ａより、$2x-3$ は $6$の約数なので、
$6$の奇数の約数の数だけ $2x-3$ が存在する から、
式Ａを満たす $x$，$y$ の組は、$6$の奇数の約数の数だけ存在する ことになる。

ということで、$6$の奇数の約数の数を数えよう。

$6$を素因数分解すると
$6=2^1\times 3^1$
となるので、正の奇数の約数は
$3^0=1$，$3^1=3$
の２個ある。

さらに、正の約数と同じ数だけ負の約数が存在するから、
$6$の奇数の約数は全部で$4$個 ある。

以上より、式Ａを満たす、つまり①式を満たす整数 $x$，$y$ の組は４組あることが分かる。

解答エ：４

この４組について、

$(2x-3,y-2)=(-3,-2)$ のとき、
$(x,y)=(0,0)$
なので、
$xy=0$

$(2x-3,y-2)=(-1,-6)$ のとき、
$(x,y)=(1,-4)$
なので、
$xy=-4$

$(2x-3,y-2)=(1,6)$ のとき、
$(x,y)=(2,8)$
なので、
$xy=16$

$(2x-3,y-2)=(3,2)$ のとき、
$(x,y)=(3,4)$
なので、
$xy=12$

だ。

よって、$xy$ が最大になるのは、
$(x,y)=(2,8)$
のときである。

解答オ：２, カ：８

(1)と同様に考えると、
式Ｂを満たす $x$，$y$ の組は、$3(a+2)$の奇数の約数の数だけ存在する といえる。

また、正の約数と負の約数は同じ数だけ存在する。

なので、式Ｂを満たす整数 $x$，$y$ の組がちょうど８個になるのは、
$3(a+2)$ の正の奇数の約数がちょうど４個 のときだ。

一方、偶数の約数に関する条件はないから、偶数の約数はあってもなくてもいい。
偶数の約数があるのは $3(a+2)$ の素因数に $2$ が含まれるときだけど、この $2$ はあってもなくてもいいわけだ。

けれど、素因数に $2$ がある場合は、$2$ がないときよりも $3(a+2)$ の値が大きくなる。
$3(a+2)$ の値が大きくなると、$a$ の値も大きくなる。

いま問われているのは $a$ が最小になる場合なので、値が大きくなるのはNGだ。

したがって、
$3(a+2)$に偶数の約数が存在する
（$3(a+2)$の素因数に$2$が含まれる） 場合は不適である。

ということで、
$3(a+2)$ の正の約数がちょうど４個で、全部奇数 の場合を考えよう。

ここで、約数の数について復習しておく。

復習より、$3(a+2)$ が
$3(a+2)=p^n{q}^m{r}^{\ell }\cdots$
と素因数分解できるとすると、正の約数の数は
$(n+1)(m+1)(\ell +1)\cdots$
と表せる。

これが４個になればよいので、
$(n+1)(m+1)(\ell +1)\cdots =4$
より
$n=1$，$m=1$，$\ell =0$，$\cdots$
だ。

よって、このとき、$3(a+2)$ は
$3(a+2)=p^1{q}^1$
と素因数分解でき、$3(a+2)$の素因数のひとつは $3$ なので、これはさらに
$3(a+2)=3^1{q}^1$
より
$a+2=q$
とかける。

いまは最小の $a$ を求めているから、$q$ が最小のときを考える。
$q$ は$2$，$3$ 以外の素数なので、最小は
$q=5$ のとき。

したがって、最小の $a$ は、
$a+2=5$
より
$a=3$
である。

解答キ：3