大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 追試数学ⅠＡ第１問 [1] 解説

解説

①式を変形すると
$50 (x^{2} + y^{2}) - (x + 7 y)^{2} = 0$
$(50 x^{2} + 50 y^{2}) - (x^{2} + 14 x y + 49 y^{2}) = 0$
$49 x^{2} - 14 x y + y^{2} = 0$
$(7 x - y)^{2} = 0$
となる。

解答ア：７

よって、
$7 x - y = 0$
だから
$y = 7 x$ 式Ａ
である。

これを②式に代入すると、
$- 4 \sqrt{3} x + 7 x = 1$
とかける。

これを $x$ について解くと、
$(7 - 4 \sqrt{3}) x = 1$
より
$x = \frac{1}{7 - 4 \sqrt{3}}$
となる。

この式の右辺の分母を有理化して、 $x$ は
$\begin{aligned} x & = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{(7 - 4 \sqrt{3}) (7 + 4 \sqrt{3})} \\ = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{49 - 48} \\ = 7 + 4 \sqrt{3} 式Ｂ \end{aligned}$ である。

解答イ：７, ウ：４

$x^{2} + y^{2} - 50$
に式Ａを代入すると、
$x^{2} + y^{2} - 50 = x^{2} + (7 x)^{2} - 50$

途中式

\begin{aligned} = x^{2} + 49 x^{2} - 50 \\ = 50 x^{2} - 50 \\ = 50 (x^{2} - 1) \end{aligned}

= 50 (x + 1) (x - 1)

とかける。

これに式Ｂを代入して、

途中式

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} - 50 & = 50 {(7 + 4 \sqrt{3}) + 1} \\ {(7 + 4 \sqrt{3}) - 1} \\ = 50 (8 + 4 \sqrt{3}) (6 + 4 \sqrt{3}) \\ = 50 \cdot 4 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2 (3 + 2 \sqrt{3}) \\ = 400 (6 + 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 6) \end{aligned}

より

x^{2} + y^{2} - 50 = 400 (12 + 7 \sqrt{3})

となる。

解答エ：１, オ：２, カ：７

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