(1)は、漸化式のルールを理解するための前振りの問題だ。

漸化式がちょっと分かりにくいので、確認から。

$a_{2n}=a_{n}$①
$a_{2n+1}=a_{n}+a_{n+1}$②

だけど、これでは全然イメージがわかない。
こういう場合は、目に見える形にすることが重要だ。
つまり、何項目かまでを図にする。

図をつくるとき、ひとつ気をつけてほしいことがある。
先にそれぞれの項の値を求めてはいけない。
何のことやら分からないと思うので、実際に$a_{1}$～$a_{17}$の図を描きながら説明する。

図の固定

漸化式①より、
$ a_{1}=a_{2}=a_{4}=a_{8}=a_{16}=\cdots$
なので、図Ａの緑の線でつながった丸の項は同じ値である。

漸化式②より、
$a_{3}=a_{1}+a_{2}$
だけど、これを図Ａの下に描きたすと、図Ｂができる。

図の固定

図Ｂの青い点の項の和が、$a_{3}$の値だ。

さらに、漸化式①より、
$ a_{3}=a_{6}=a_{12}=\cdots$
なので、図Ｃの２段目の緑の線でつながった丸の項も同じ値である。

図の固定

これを繰りかえして$a_{17}$まで描くと、図Ｄのようになる。

図の固定

項同士の関係をイメージすることが目的なので、ここまで項の値は求めなかった。
これに項の値を書き込むと、図Ｅになる。

図の固定

図Ｅより、
$a_{4}=1$
$a_{5}=3$
$a_{6}=2$
$a_{7}=3$
である。

解答ア：１, イ：３, ウ：２, エ：３

$a_{18}$，$a_{38}$は図Ｅにないので、ちょっと考える。

漸化式①より、
$a_{18}=a_{9}$
なので、図Ｅより
$a_{18}=4$

解答オ：４

漸化式①より、
$a_{38}=a_{19}$
漸化式②より、
$a_{19}=a_{9}+a_{10}$
なので、図Ｅより
$a_{38}=4+3$
     $=7$
である。

解答カ：７

図Ｅをつくるときに気づいたと思うけど、$m$を自然数として、
$a_{m}=3$
であれば
$a_{2m}=a_{4m}=a_{8m}=a_{16m}=\cdots=3$
だ。

なので、$k$を自然数として、
$a_{m\cdot 2^{k}}=a_{m}$式Ａ
と表せる。

よって、
$a_{3\cdot 2^{k}}=a_{3}$
       $=2$
である。

解答キ：２

突然、群数列の問題になった。

以下、解説をシンプルにするために、
第$k$群の$m$番目の項を $[$第$k$群$]_{m}$ 第$k$群の最後の項を $[$第$k$群$]_{L}$ と表すことにする。

例えば、
第$3$群の$2$番目の項は $[$第$3$群$]_{2}$
第$5$群の最後の項は $[$第$5$群$]_{L}$
と書く。

図Ｅを群に分けると、図Ｆができる。

図の固定

図Ｆを見ながら、まず$[$第$k$群$]_{1}$が$\{a_{n}\}$の何項目にあたるかを考えよう。

こういうときは、ひとつ例をとりだして考える。
図Ｆより、例えば
$[$第$4$群$]_{1}=a_{17}$
だけど、なぜそうなるかを考える。

$[$第$4$群$]_{1}$の前には、
$a_{1}$と$a_{2}$ 第$1$群 第$2$群 第$3$群 がある。

$a_{1}$と$a_{2}$で、項数は$2$個 第$1$群に含まれる項は、$2^{1}$個 第$2$群に含まれる項は、$2^{2}$個 第$3$群に含まれる項は、$2^{3}$個 だから、これを全部たした
$2+$$2^{1}+2^{2}+2^{3}$式Ｂ
個の項が、$[$第$4$群$]_{1}$の前に存在する。

式Ｂの赤い部分を計算すると
$2^{1}+2^{2}+2^{3}=\displaystyle \sum_{j=1}^{3}2^{j}$
                 $=\displaystyle \frac{2(1-2^{3})}{1-2}$
                 $=14$
なので、式Ｂは
$2+14=16$
となるから、$[$第$4$群$]_{1}$の前には$16$個の項が存在する。
つまり、$[$第$4$群$]_{1}$は$a_{16}$の次の項なので、$a_{17}$であるわけだ。

$[$第$k$群$]_{1}$で、同じ考え方をしてみる。

$[$第$k$群$]_{1}$の前には、
$a_{1}$と$a_{2}$ 第$1$群 第$2$群        $\vdots$
第$k-1$群 がある。

$a_{1}$と$a_{2}$で、項数は$2$個 第$1$群に含まれる項は、$2^{1}$個 第$2$群に含まれる項は、$2^{2}$個        $\vdots$
第$k-1$群に含まれる項は、$2^{k-1}$個 だから、これを全部たした
$2+$$2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{k-1}$式Ｃ
個の項が、$[$第$k$群$]_{1}$の前に存在する。

式Ｃの赤い部分を計算すると
$2^{1}+2^{2}+\displaystyle \cdots+2^{k-1}=\sum_{j=1}^{k-1}2^{j}$
                            $=\displaystyle \frac{2(1-2^{k-1})}{1-2}$
                            $=2^{k}-2$
となる。

解答ク：２, ケ：２, コ：２

なので、式Ｃは
$2+2^{k}-2=2^{k}$
となるから、$[$第$k$群$]_{1}$の前には$2^{k}$個の項が存在する。※
つまり、$[$第$k$群$]_{1}$は$a_{2^{k}}$の次の項なので、
$[$第$k$群$]_{1}=a_{2^{k}+1}$式Ｄ
である。

解答サ：１

ここから、和の問題だ。
はじめは、いつものようにルール確認の前振り問題から。

まず、$U_{k+1}$から。

図の固定

このことから、
$U_{k+1}=S_{k}$
ではないかと予想できる。

これは予想にすぎないので、本当かどうか確認しよう。

式Ｄ，式Ｅより、
$[$第$k$群$]_{1}=a_{2^{k}+1}$
$[$第$k$群$]_{L}=a_{2^{k+1}}$
なので、第$k$群には
$a_{2^{k}+1}$，$a_{2^{k}+2}$，$\cdots$，$a_{2^{k+1}}$
の項が含まれる。

よって、$S_{k}$は
$S_{k}=$$a_{2^{k}+1}$$+$$a_{2^{k}+2}$$+\cdots+$$a_{2^{k+1}}$式Ｆ
とかける。

同様に、式Ｄ，式Ｅより、
$[$第$k+1$群$]_{1}=a_{2^{k+1}+1}$
$[$第$k+1$群$]_{L}=a_{2^{(k+1)+1}}$
                 $=a_{2^{k+2}}$
なので、第$k+1$群には
$a_{2^{k+1}+1}$，$a_{2^{k+1}+2}$，$a_{2^{k+1}+3}$，$ a_{2^{k+1}+4}\cdots$，$a_{2^{k+2}}$
の項が含まれる。

このうち、偶数番目の項は
$a_{2^{k+1}+2}$，$a_{2^{k+1}+4}$，$\cdots$，$a_{2^{k+2}}$
なので、$U_{k+1}$は
$U_{k+1}=$$a_{2^{k+1}+2}$$+$$a_{2^{k+1}+4}$$+\cdots+$$a_{2^{k+2}}$式Ｇ
とかける。

ここで、
$2\times(2^{k}+1)=2^{k+1}+2$ $2\times(2^{k}+2)=2^{k+1}+4$        $\vdots$
$2\times 2^{k+1}=2^{k+2}$ なので、漸化式①より、式Ｆと式Ｇの同じ色の項は等しい。

よって、式Ｆ$=$式Ｇなので、
$U_{k+1}=S_{k}$式Ｈ
であるとの予想は正しいことが分かる。

解答チ：０

次に、$T_{k+1}$だ。

図の固定

$U_{k+1}$のときと同じように考えると、

このことから、
$T_{k+1}=2S_{k}$式Ｉ
ではないかと予想できる。
これは予想なので確認ないといけないけれど、$U_{k+1}$のときの確認と似ているので省略する。

解答ツ：４

さらに$S_{k+1}$は
$S_{k+1}=T_{k+1}+U_{k+1}$
に式Ｈ，式Ｉを代入して
$S_{k+1}=S_{k}+2S_{k}$
$S_{k+1}$$=3S_{k}$
である。

解答テ：８

式Ｊ，式Ｋより、$\{S_{k}\}$は
初項が$3$ 公比が$3$ の等比数列だ。

よって、一般項$S_{k}$は
$S_{k}=3\cdot 3^{k-1}$
    $=3^{k}$式Ｎ
である。

解答ト：９

式Ｌ，式Ｍ，式Ｎの$k$に$k-1$を代入すると、
$T_{k}=2S_{k-1}$式Ｌ'
$U_{k}=S_{k-1}$式Ｍ'
$S_{k-1}=3^{k-1}$式Ｎ'
とかける。

式Ｎ'を式Ｌ'，式Ｍ'に代入すると、$2\leqq k$のとき、
$T_{k}=2\cdot 3^{k-1}$式Ｌ''
$U_{k}=3^{k-1}$式Ｍ''
であることが分かる。

$k=1$のとき、式Ｌ''，式Ｍ''は
$T_{1}=2\cdot 3^{1-1}$
    $=2$
$U_{1}=3^{1-1}$
    $=1$
となる。

よって、式Ｌ''，式Ｍ''は$k=1$のときも成り立つ。

解答ナ：５, ニ：１