大学入試センター試験 2020年(令和２年) 追試数学ⅡＢ第１問 [2] 解説

(1)

関数
$\begin{aligned} f (x) & = \sqrt{3} \cos (3 x + \frac{π}{3}) + \sqrt{3} \cos 3 x \\ = \sqrt{3} {\cos (3 x + \frac{π}{3}) + \cos 3 x} \end{aligned}$ 式Ａ
について考える。

式Ａの赤い部分は、加法定理より
$\begin{aligned} \cos (3 x + \frac{π}{3}) & = \cos 3 x \cos \frac{π}{3} - \sin 3 x \sin \frac{π}{3} \\ = \frac{1}{2} \cos 3 x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3 x \end{aligned}$ とかける。

なので、式Ａは、
$\begin{aligned} f (x) & = \sqrt{3} (\frac{1}{2} \cos 3 x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3 x + \cos 3 x) \\ = - \frac{3}{2} \sin 3 x + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cos 3 x 式Ｂ \end{aligned}$ と変形できる。

解答タ：３, チ：２, ツ：３, テ：３

さらに、式Ｂを
$f (x) = \frac{3}{2} (- \sin 3 x + \sqrt{3} \cos 3 x)$ 式Ｂ'
と変形する。

式Ｂ'の赤い部分は、三角関数の合成をすると、図Ａより、
$\begin{aligned} - \sin 3 x + & \sqrt{3} \cos 3 x \\ = 2 \sin (3 x + \frac{2}{3} π) \end{aligned}$
である。

よって、式Ｂ'は
$\begin{aligned} f (x) & = \frac{3}{2} \cdot 2 \sin (3 x + \frac{2}{3} π) \\ = 3 \sin (3 x + \frac{2}{3} π) 式Ｃ \end{aligned}$ となる。

解答ト：３, ナ：２, ニ：３

(1)では、 $x$ の範囲は特に指定されてない。
なので、定義域はすべての実数だ。
よって、 $3 x + \frac{2}{3} π$ はすべての実数をとる。

$3 x + \frac{2}{3} π$ がすべての実数のとき、
$- 1 ≦ \sin (3 x + \frac{2}{3} π) ≦ 1$
なので、
$- 3 ≦ 3 \sin (3 x + \frac{2}{3} π) ≦ 3$
だから、これに式Ｃを代入すると
$- 3 ≦ f (x) ≦ 3$
となる。

以上より、 $f (x)$ の最大値は
$3$
であることが分かる。

解答ヌ：３

ここで、グラフの移動と拡大縮小について復習しておこう。

復習

$y = f (x)$ のグラフを①とする。

平行移動 $y = f (x - p)$ のグラフは、①を $x$ 軸方向に $p$ 平行移動したもの $y - q = f (x)$ のグラフは、①を $y$ 軸方向に $q$ 平行移動したもの

対称移動 $y = f (- x)$ のグラフは、①を $y$ 軸に関して対称移動したもの $- y = f (x)$ のグラフは、①を $x$ 軸に関して対称移動したもの

拡大 $y = f (\frac{x}{a})$ のグラフは、①を $x$ 軸方向に $a$ 倍したもの $\frac{y}{b} = f (x)$ のグラフは、①を $y$ 軸方向に $b$ 倍したもの

縮小 $y = f (a x)$ のグラフは、①を $x$ 軸方向に $\frac{1}{a}$ にしたもの $b y = f (x)$ のグラフは、①を $y$ 軸方向に $\frac{1}{b}$ にしたもの

である。

グラフの移動と拡大縮小が分かったところで、 $y = f (x)$ のグラフを考よう。

式Ｃより、このグラフは
$y = 3 \sin (3 x + \frac{2}{3} π)$
とかける。

これをちょっと変形して
$\frac{y}{3} = \sin 3 (x + \frac{2}{9} π)$
とすると、復習より、このグラフは、 $y = \sin x$ のグラフを
$y$ 軸方向に $3$ 倍に拡大 $x$ 軸方向に $\frac{1}{3}$ に縮小 $x$ 軸方向に $- \frac{2}{9} π$ 平行移動したものであることが分かる。

今問われているのは周期なので、必要なのは $x$ 軸方向の拡大縮小だけだ。
もとの $y = \sin x$ のグラフの周期は
$2 π$
だった。
$y = f (x)$ のグラフは、これを $x$ 軸方向に $\frac{1}{3}$ にしたものなので、周期も $\frac{1}{3}$ になって
$\frac{2}{3} π$
である。

解答ネ：２, ノ：３

(2)

$f (x) = t$
に式Ｃを代入すると
$3 \sin (3 x + \frac{2}{3} π) = t$
より、
$\sin (3 x + \frac{2}{3} π) = \frac{t}{3}$ 式Ｄ
とかける。

ここで、
$3 x + \frac{2}{3} π = A$
とおくと、式Ｄは
$\sin A = \frac{t}{3}$ 式Ｄ'
となる。

見慣れた三角方程式になった。
あとはいつものように解こう。

まず、 $A$ の範囲を求める。

$x$ の範囲は
$0 ≦ x ≦ 2 π$
だけど、これを変形すると
$0 ≦ 3 x ≦ 6 π$
より
$\frac{2}{3} π ≦ 3 x + \frac{2}{3} π ≦ 6 π + \frac{2}{3} π$
となる。

よって、
$\frac{2}{3} π ≦ A ≦ 6 π + \frac{2}{3} π$
である。
$2 π$ で円を一周だから、 $6 π$ は３周分。
つまり、 $A$ の範囲は、
$\frac{2}{3} π$ から始まって３周分
となる。

これを図で表すと、図Ｂができる。

図の固定

$| t | > 3$ を絶対値を使わずに書くと
$t < - 3$ ， $3 < t$
である。

この両辺を $3$ で割ると
$\frac{t}{3} < - 1$ ， $1 < \frac{t}{3}$
なので、式Ｄ'は
$\sin A < - 1$ ， $1 < \sin A$
となる。

よって、解はないので、
$N = 0$
だ。

解答ハ：０

$t = 3$ のとき、式Ｄ'は
$\begin{aligned} \sin A & = \frac{3}{3} \\ = 1 \end{aligned}$ となる。

この解は、図Ｂの緑の範囲と、直線 $y = 1$ の共通部分にあたる。
図にすると、図Ｃの赤い点だ。

図の固定

図Ｃの赤い点は３個。
なので、
$N = 3$
である。

解答ヒ：３

式Ｃより
$\begin{aligned} f (0) & = 3 \sin (3 \cdot 0 + \frac{2}{3} π) \\ = 3 \sin \frac{2}{3} π \end{aligned}$ なので、このとき、式Ｄ'は
$\begin{aligned} \sin A & = \frac{3}{3} \sin \frac{2}{3} π \\ = \sin \frac{2}{3} π \end{aligned}$ となる。

図の固定

この解は図Ｄの赤い点なので、
$N = 7$
だ。

解答フ：７

$| t | < 3$ かつ $t \neq f (0)$ は、図Ｅの青い範囲（境界線を除く）。

図の固定

この範囲で、例えば赤い線のときを考えると、
$N = 6$
である。

解答ヘ：６

$t = - 3$ のとき、解は図Ｆの赤い点だ。

図の固定

なので、
$N = 3$
である。

解答ホ：３

別解

三角関数のグラフを描くのが苦じゃなければ、次のような方法がお勧めだ。

(1)で考えたように、 $y = f (x)$ のグラフは、 $y = \sin x$ のグラフを
① $y$ 軸方向に $3$ 倍に拡大・ $x$ 軸方向に $\frac{1}{3}$ に縮小して、
② $x$ 軸方向に $- \frac{2}{9} π$ 平行移動したもの
だった。
この考え方でグラフを描く。

① まず、 $y = \sin x$ のグラフを
$y$ 軸方向に $3$ 倍に拡大 $x$ 軸方向に $\frac{1}{3}$ に縮小すると、図Ｇができる。

図の固定

② さらに、図Ｇを
$x$ 軸方向に $- \frac{2}{9} π$ 平行移動すると、図Ｈになる。

図の固定

図Ｈの赤い曲線が、 $y = f (x)$ のグラフだ。

いま、 $x$ の定義域は
$0 ≦ x ≦ 2 π$
なので、 $y = f (x)$ のグラフと定義域は図Ｉのようになる。
この図で、黒い実線と、直線
$y = t$
の共有点が $f (x) = t$ となる点だ。

図の固定

$| t | > 3$ のとき、
$y = t$ のグラフは、 $3$ より上または $- 3$ より下にある。
なので、黒い実線との共有点はない。

解答ハ：０

$t = 3$ のとき、
$y = t$ のグラフは、図Ｉの青い線。
黒い実線との共有点は、青い点の３個だ。

解答ヒ：３

$t = f (0)$ のとき、
$y = t$ のグラフは、図Ｉの赤い線。
これと黒い実線との共有点は７個。

解答フ：７

$| t | < 3$ かつ $t \neq f (0)$ のとき、
$y = t$ のグラフは、例えば図Ｉのオレンジの線。
なので、黒い実線との共有点は６個ある。

解答ヘ：６

$t = - 3$ のとき、
$y = t$ のグラフは、図Ｉの紫の線。
これと黒い実線との共有点は３個だ。

解答ホ：３

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