一次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

$7x-31y=1$①

①の一次不定方程式を解く。

$x$と$y$の係数の$7$と$31$でユークリッドの互除法を行うと、
$31÷7=4\dots 3$式Ａ1
$7÷3=2\dots 1$式Ａ2

これを「＝余り」の形に変形して、
$31-7\cdot 4=3$式Ａ1'
$7-3\cdot 2=1$式Ａ2'

式Ａ2'に式Ａ1'を代入して、
$7-(31-7\cdot 4)\cdot 2=1$
より
$7+7\cdot 4\cdot 2-31\cdot 2=1$
$7\cdot 9-31\cdot 2=1$
ができる。

①からこの式を辺々引くと

となるから、
$7(x-9)=31(y-2)$式Ｂ
とかける。

ここで、$7$と$31$は互いに素なので、式Ｂが成り立つためには、$m$を整数として
$\{\begin{array}{l}x-9=31m\\ y-2=7m\end{array}$
でなければならない。

以上より、一次不定方程式①のすべての整数解は、
$\{\begin{array}{l}x=31m+9\\ y=7m+2\end{array}$（$m$は整数）式Ｃ
と表せる。

$n$をオの$7$で割る場合を考える。
そのときの商を$q$，余りを$r$とすると、
$n=7q+r(0\leqq r\leqq 6)$
とかける。

よって、$n^2$は
$(7q+r{)}^2=$$49q^2+14qr$$+$$r^2$
と表せる。

この式の青い部分は$7$の倍数なので、$n^2$を$7$で割った余りは、赤い部分を$7$で割った余りだ。
この余りがイの$2$になる$r$を見つける。

$r$は$0\leqq r\leqq 6$の数なので、総当たりで探してもたいした手間じゃない。

$r$が$0$～$2$のときは、計算するまでもなく明らかに不適。 $r=3$のとき、$r^2=9$なので、$7$で割った余りは$2$だ。
ひとつ見つけた。 $r=4$のとき、$r^2=16$なので、$7$で割った余りは$2$だ。
もうひとつ見つけた。

答えはカキの２個なのでこれで全部見つけたけど、念のために$r=6$まで計算しておく。

$r=5$のとき、$r^2=25$なので、$7$で割った余りは$4$だ。
不適。 $r=6$のとき、$r^2=36$なので、$7$で割った余りは$1$だ。
不適。

以上より、$n^2$を$7$で割った余りが$2$になるのは、$n$を$7$で割った余りが
$3$または$4$
のときである。

解答カ：３, キ：４（順不同）

よって、$y$が
$y=n^2$
と表せるのは、$q$を$0$以上の整数として、
$n=7q+3$式Ｄ
または
$n=7q+4$式Ｅ
のときであることが分かる。

となる。

これが問われている最小の$y$４つだ。

解答ク：９, ケ：１, コ：６, サ：１, シ：０, ス：０, セ：１, ソ：２, タ：１

$\sqrt{31(7x-1)}$
が整数になるためには、根号の中が
$31(7x-1)=($自然数${)}^2$式Ｆ
の形で表せればよい。

ここで、$31$は素数なので、式Ｆが成り立つ場合、$n$を自然数として、
$7x-1=31n^2$式Ｇ
より
$7x-31n^2=1$
である。

見覚えがある式ができた。
これは、不定方程式①の $y$を$n^2$に変えたもの。
つまり、不定方程式①の整数解の$y$のうち、$y=n^2$と表せるものっていう意味だ。

よって、この問題で問われているのは、不定方程式①の整数解$(x,y)$の組で、
$1000\leqq x$である条件Ａ $y$が自然数$n$の２乗である条件Ｂ もののうち、$x$が最小のものだ。

まず、条件Ａから考える。

不定方程式①の
$7x-31y=1$
を変形して
$x={\displaystyle \frac{31y+1}{7}}$①'
とする。

いま問われているのは
$x\geqq 1000$
のときなので、式①'より
$1000\leqq {\displaystyle \frac{31y+1}{7}}$
とかける。

これを計算すると
$7000\leqq 31y+1$
${\displaystyle \frac{6999}{31}}\leqq y$
$225.7\dots \leqq y$
となるけど、$y$は整数なので、$y$の範囲は
$226\leqq y$式Ｈ
である。

次に、条件Ｂ。

$y=n^2$なので、式Ｈは
$226\leqq n^2$
とかける。
ここで、${15}^2=255$なので、$n$の範囲は
$16\leqq n$式Ｈ'
である。

(3)より、$y=n^2$となるのは、$q$を$0$以上の整数として
$n=7q+3$式Ｄ
または
$n=7q+4$式Ｅ
のときだった。

式Ｈ'が成り立つ$q$の範囲は、
式Ｄのとき、
式Ｈ'に式Ｄを代入して
$16\leqq 7q+3$
$q$は整数なので
$2\leqq q$
式Ｅのとき、
式Ｈに式Ｅを代入して、
$16\leqq 7q+4$
$q$は整数なので
$2\leqq q$
より、どちらの式の場合でも
$2\leqq q$
となる。

$q$が同じ値のときは、式Ｄの$n$の方が式Ｅの$n$よりも$1$小さい。 $n$は自然数で、$y=n^2$なので、$n$が小さい方が$y$も小さい。 式①'より、$y$が小さい方が$x$も小さい。 なので、ここでは式Ｄだけ考えればよい。

ここまで分かれば勝ったも同然。
あとは手を動かして計算するだけだ。

式Ｄより，$q$が小さいほど$n$も小さいので、
$2\leqq q$
を満たす最小の$q$、つまり
$q=2$
を使う。

これを式Ｄに代入して、
$$\begin{array}{rl}n& =7\cdot 2+3\\ & =17\end{array}$$ なので、条件Ｂより
$$\begin{array}{rl}y& =n^2\\ & ={17}^2\end{array}$$

これを式①'に代入して、求める$x$は
$$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{31\cdot {17}^2+1}{7}}\\ & =1280\end{array}$$ である。

解答チ：１, ツ：２, テ：８, ト：０

また、このときの$\sqrt{31(7x-1)}$の値は、これに式Ｇを代入して、
$$\begin{array}{rl}\sqrt{31(7x-1)}& =\sqrt{31\cdot 31n^2}\\ & =31n\end{array}$$

となるけど、$n=17$なので
$$\begin{array}{rl}\sqrt{31(7x-1)}& =31\cdot 17\\ & =527\end{array}$$ である。

解答ナ：５, ニ：２, ヌ：７