一次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

$7x-31y=1$①

①の一次不定方程式を解く。

$x$と$y$の係数の$7$と$31$でユークリッドの互除法を行うと、
$31\div7=4\ldots3$式Ａ1
$7\div3=2\ldots1$式Ａ2

これを「＝余り」の形に変形して、
$31-7\cdot4=3$式Ａ1'
$7-3\cdot2=1$式Ａ2'

式Ａ2'に式Ａ1'を代入して、
$7-(31-7\cdot4)\cdot2=1$
より
$7+7\cdot4\cdot2-31\cdot2=1$
$7\cdot9-31\cdot2=1$
ができる。

①からこの式を辺々引くと

となるから、
$7(x-9)=31(y-2)$式Ｂ
とかける。

ここで、$7$と$31$は互いに素なので、式Ｂが成り立つためには、$m$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}x-9=31m\\y-2=7m\end{array}\right.$
でなければならない。

以上より、一次不定方程式①のすべての整数解は、
$\left\{\begin{array}{l}x=31m+9\\y=7m+2\end{array}\right.$（$m$は整数）式Ｃ
と表せる。

$n$をオの$7$で割る場合を考える。
そのときの商を$q$，余りを$r$とすると、
$n=7q+r$
       ただし、$0\leqq r\leqq 6$
とかける。

よって、$n^{2}$は
$(7q+r)^{2}=$$49q^{2}+14qr$$+$$r^{2}$
と表せる。

この式の青い部分は$7$の倍数なので、$n^{2}$を$7$で割った余りは、赤い部分を$7$で割った余りだ。
この余りがイの$2$になる$r$を見つける。

$r$は$0\leqq r\leqq 6$の数なので、総当たりで探してもたいした手間じゃない。

$r$が$0$～$2$のときは、計算するまでもなく明らかに不適。 $r=3$のとき、$r^{2}=9$なので、$7$で割った余りは$2$だ。
ひとつ見つけた。 $r=4$のとき、$r^{2}=16$なので、$7$で割った余りは$2$だ。
もうひとつ見つけた。

答えはカキの２個なのでこれで全部見つけたけど、念のために$r=6$まで計算しておく。

$r=5$のとき、$r^{2}=25$なので、$7$で割った余りは$4$だ。
不適。 $r=6$のとき、$r^{2}=36$なので、$7$で割った余りは$1$だ。
不適。

以上より、$n^{2}$を$7$で割った余りが$2$になるのは、$n$を$7$で割った余りが
$3$または$4$
のときである。

解答カ：３, キ：４（順不同）

よって、$y$が
$y=n^{2}$
と表せるのは、$q$を$0$以上の整数として、
$n=7q+3$式Ｄ
または
$n=7q+4$式Ｅ
のときであることが分かる。

となる。
これが問われている最小の$y$４つだ。

解答ク：９, ケ：１, コ：６, サ：１, シ：０, ス：０, セ：１, ソ：２, タ：１

$\sqrt{31(7x-1)}$
が整数になるためには、根号の中が
$31(7x-1)=($自然数$)^{2}$式Ｆ
の形で表せればよい。

ここで、$31$は素数なので、式Ｆが成り立つ場合、$n$を自然数として、
$7x-1=31n^{2}$式Ｇ
より
$7x-31n^{2}=1$
である。

見覚えがある式ができた。
これは、不定方程式①の $y$を$n^{2}$に変えたもの。
つまり、不定方程式①の整数解の$y$のうち、$y=n^{2}$と表せるものっていう意味だ。

よって、この問題で問われているのは、不定方程式①の整数解$(x,y)$の組で、
$1000 \leqq x$である条件Ａ $y$が自然数$n$の２乗である条件Ｂ もののうち、$x$が最小のものだ。

まず、条件Ａから考える。

不定方程式①の
$7x-31y=1$
を変形して
$x=\displaystyle \frac{31y+1}{7}$①'
とする。

いま問われているのは
$x\geqq 1000$
のときなので、式①'より
$1000\displaystyle \leqq\frac{31y+1}{7}$
とかける。

これを計算すると
$7000\leqq 31y+1$
$\displaystyle \frac{6999}{31}\leqq y$
$225.7\ldots\leqq y$
となるけど、$y$は整数なので、$y$の範囲は
$226\leqq y$式Ｈ
である。

次に、条件Ｂ。

$y=n^{2}$なので、式Ｈは
$226\leqq n^{2}$
とかける。
ここで、$15^{2}=255$なので、$n$の範囲は
$16 \leqq n$式Ｈ'
である。

(3)より、$y=n^{2}$となるのは、$q$を$0$以上の整数として
$n=7q+3$式Ｄ
または
$n=7q+4$式Ｅ
のときだった。

式Ｈ'が成り立つ$q$の範囲は、
式Ｄのとき、
式Ｈ'に式Ｄを代入して
$16\leqq 7q+3$
$q$は整数なので
$2\leqq q$
式Ｅのとき、
式Ｈに式Ｅを代入して、
$16\leqq 7q+4$
$q$は整数なので
$2\leqq q$
より、どちらの式の場合でも
$2\leqq q$
となる。

$q$が同じ値のときは、式Ｄの$n$の方が式Ｅの$n$よりも$1$小さい。 $n$は自然数で、$y=n^{2}$なので、$n$が小さい方が$y$も小さい。 式①'より、$y$が小さい方が$x$も小さい。 なので、ここでは式Ｄだけ考えればよい。

ここまで分かれば勝ったも同然。
あとは手を動かして計算するだけだ。

式Ｄより，$q$が小さいほど$n$も小さいので、
$2\leqq q$
を満たす最小の$q$、つまり
$q=2$
を使う。

これを式Ｄに代入して、
$n=7\cdot 2+3$
$n$$=17$
なので、条件Ｂより
$y=n^{2}$
$y$$=17^{2}$

これを式①'に代入して、求める$x$は
$x=\displaystyle \frac{31\cdot 17^{2}+1}{7}$
$x$$=1280$
である。

解答チ：１, ツ：２, テ：８, ト：０