問題を解く準備

こういう問題は、決して頭の中だけで考えてはいけない。
必ず図や表にして、目で見ながら考えるようにしよう。
なので、最初にすることは、条件の集合を目に見える形にすることだ。

条件$p$を数直線で表すと、図Ａができる。

図の固定

また、条件$q$は
$|x-a| \gt 3$
より
$x-a \lt -3$，$3 \lt x-a$
なので
$x \lt a-3$，$a+3 \lt x$
とかけるから、数直線で表すと図Ｂができる。

図の固定

この二つの図を見ながら、問題を解こう。

(1)

ここで、命題の真偽についての復習をしておく。

命題「仮定であれば結論である」について、
仮定が結論に含まれていれば真仮定が結論からはみ出していれば偽である。

つまり、仮定の集合を赤、結論の集合を青とすると、命題が真になるのは図Ｃのような場合。

図の固定

また、命題が偽になるのは図Ｄのような場合だ。

図の固定

反例は、仮定に含まれるけれど結論には含まれない部分にあたる。
なので、図Ｄの、赤い斜線はあるけど青い斜線がない部分が反例だ。

復習１より、命題「$p\Rightarrow q$」が真であるのは、
$p$の集合が$q$の集合に含まれるときつまり
図Ａの緑の範囲がすべて図Ｂの紫の範囲に含まれるときである。
このとき、数直線は図Ｅまたは図Ｆのようになる。

図の固定

図Ｅになるのは、
$a+3 \lt -1$
より
$a \lt -4$

図Ｆになるのは、
$3 \lt a-3$
より、
$6 \lt a$

のとき。

解答ソ：－, タ：４, チ：６

$a=6$のとき、数直線は図Ｇのような状態になる。

図の固定

復習１より、命題「$p\Rightarrow q$」の反例は、
$p$の集合に含まれていて、$q$の集合に含まれない部分つまり
緑に含まれていて、紫に含まれない部分にあたる。

よって、反例は
$x=3$
のみである。

解答ツ：３

次は、必要条件・十分条件の問題だ。

このタイプの問題は
$p\Rightarrow q$ ×
$p\Leftarrow q$ ○
なので、必要条件
っていう感じで解くことが多いけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。
なので、真偽と同じように、図を描いて集合の大小で考えよう。

図Ｈで、
$p$は$q$の必要条件 $q$は$p$の十分条件である。
つまり、片方の集合がもう片方に含まれるとき、
大きい集合は小さい集合の必要条件小さい集合は大きい集合の十分条件である。

「大は小の必要条件・小は大の十分条件。」
呪文のように憶えておこう。

図Ｉのようにふたつの集合が等しい場合は、必要十分条件となる。

図の固定

図Ｊのように、片方がもう片方を含むような関係でない場合には、必要条件でも十分条件でもない。

$a=1$のとき、$p$と$q$の集合は図Ｋのようになる。

図の固定

$\overline{p}$かつ$\overline{q}$は、数直線の$p$でも$q$でもない部分。
なので、図Ｋの赤い範囲にあたる。

図Ｋの赤い範囲と条件$r$をひとつの数直線に描くと、図Ｌができる。

図の固定

図Ｌを見ると、青い範囲は赤い範囲に含まれている。
ベン図にすると図Ｍのような状態である。

図の固定

よって、復習２より、条件「$\overline{p}$かつ$\overline{q}$」は、条件$r$であるための
必要条件
である。

解答テ：０