こういう問題は、決して頭の中だけで考えてはいけない。
必ず図や表にして、目で見ながら考えるようにしよう。
なので、最初にすることは、条件の集合を目に見える形にすることだ。

条件$p$を数直線で表すと、図Ａができる。

また、条件$q$は
$|x-a|>3$
を変形すると
$x-a<-3$，$3<x-a$
$x<a-3$，$a+3<x$
とかけるから、数直線で表すと図Ｂになる。

この二つの図を見ながら、問題を解こう。

ここで、命題の真偽についての復習をしておく。

復習１より、命題「$p\Rightarrow q$」が真であるのは、
$p$の集合が$q$の集合に含まれるとき つまり
図Ａの緑の範囲がすべて図Ｂの紫の範囲に含まれるとき である。
このとき、数直線は図Ｅまたは図Ｆのようになる。

のとき。

解答ソ：－, タ：４, チ：６

$a=6$のとき、数直線は図Ｇのような状態になる。

復習１より、命題「$p\Rightarrow q$」の反例は、
$p$の集合に含まれていて、$q$の集合に含まれない部分 つまり
緑に含まれていて、紫に含まれない部分 にあたる。

よって、反例は
$x=3$
のみである。

解答ツ：３

次は、必要条件・十分条件の問題だ。

このタイプの問題は

$p\Rightarrow q$ ×
$p\Leftarrow q$ ○
なので、必要条件

っていう感じで解くことが多いけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。
なので、真偽と同じように、図を描いて集合の大小で考えよう。

$a=1$のとき、$p$と$q$の集合は図Ｋのようになる。

$\bar{p}$かつ$\bar{q}$は、数直線の$p$でも$q$でもない部分。
なので、図Ｋの赤い範囲にあたる。

図Ｋの赤い範囲と 条件$r$をひとつの数直線に描くと、図Ｌができる。

図Ｌを見ると、青い範囲は赤い範囲に含まれている。

ベン図にすると図Ｍのような状態である。

図Ｍと復習２より、条件「$\bar{p}$かつ$\bar{q}$」は、条件$r$であるための
必要条件 である。

解答テ：０