玉を取り出す前、つぼの中は図Ａのような状態だ。

問題文中にもあるけど、玉を１個ずつ全部取り出す試行は、すべての玉を一列に並べる試行と等しい。
なので、この解説では、玉を一列に並べるものとして説明する。

その際、玉の位置を、左から数えて○囲み数字で表す。
例えば、２回目に取り出された玉は、
すべての玉を一列に並べたとき、左から２番目の玉 であり、
「②」と表す ことにする。

①②がである確率は

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_2}{{}_{10}{\mathrm{C}}_2}}& ={\displaystyle \frac{\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}}{\frac{10\cdot 9}{2\cdot 1}}}\\ & ={\displaystyle \frac{6\cdot 5}{10\cdot 9}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

である。

解答ア：１, イ：３

10個の玉を一列に並べる場合の数は
$10!$
だけど、６個の同士、４個の同士は区別がつかない。

なので、$10!$を
$6!$
と
$4!$
で割って、求める場合の数は
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{10!}{6!\cdot 4!}}& ={\displaystyle \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\times 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\ & =10\cdot 3\cdot 7\\ & =210\end{array}$$ 通りある。

解答ウ：２, エ：１, オ：０

別解

一列に並べた10個の玉のうち、４個を選んでにすればよいと考えると、
選ぶ順番は関係ないので、
$$\begin{array}{rl}{}_{10}{\mathrm{C}}_4& ={\displaystyle \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\ & =10\cdot 3\cdot 7\mathrm{式}Ａ\\ & =210\end{array}$$ 通りある。

解答ウ：２, エ：１, オ：０

８回目終了時にがすべて取り出されている場合は、
４個と４個を一列に並べる ときの場合の数と等しい。

８個の玉を一列に並べる場合の数は
$8!$
だけど、４個の同士、４個の同士は区別がつかない。

なので、$8!$を
$4!\times 4!$
で割って、求める場合の数は
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{8!}{4!\times 4!}}& ={\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\times 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\ & =7\cdot 2\cdot 5\\ & =70\end{array}$$ 通りある。

解答カ：７, キ：０

別解

一列に並べた８個の玉のうち、４個を選んでにすればよいと考えると、
選ぶ順番は関係ないので、
$$\begin{array}{rl}{}_8{\mathrm{C}}_4& ={\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\ & =7\cdot 2\cdot 5\\ & =70\end{array}$$ 通りある。

解答カ：７, キ：０

⑨⑩がである場合、は４個とも①～⑧に含まれる。
よって、カキを確率にすると、それが$p_9$だ。

以上より、カキを式Ａで割って、
$$\begin{array}{rl}{p}_9& ={\displaystyle \frac{70}{10\cdot 3\cdot 7}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$ となる。

解答ク：１, ケ：３

次に、$p_3$（③④がである確率）を求める。

これは、図Ｂのような状態。
図中、の部分はでもでもよい。

この場合の数は、８つのの部分に４個と４個を並べればよいので、
${\displaystyle \frac{8!}{4!\cdot 4!}}$または${}_8{\mathrm{C}}_4$
となって、カキと等しい。

なので、確率も$p_9$と等しく
$p_3={\displaystyle \frac{1}{3}}$
である。

解答コ：１, サ：３

シスセソはそのまま求めてもいいんだけど、作業が少し楽なので、ここでは余事象を使って考える。
余事象を使わない方法は、別解で説明した。

---

４回目終了時にが２個以上取り出されている事象の余事象は、①②③④のうちが２個未満の場合。
つまり
なし，４個 １個，３個 の２つの場合。

それぞれの確率は、
なし，４個のとき
${\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_4}{{}_{10}{\mathrm{C}}_4}}$ １個，３個のとき
${\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_1\cdot {}_4{\mathrm{C}}_3}{{}_{10}{\mathrm{C}}_4}}={\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_1\cdot {}_4{\mathrm{C}}_1}{{}_{10}{\mathrm{C}}_4}}$ とかける。

余事象の確率は、この２つをたして、
${\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_4}{{}_{10}{\mathrm{C}}_4}}+{\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_1\cdot {}_4{\mathrm{C}}_1}{{}_{10}{\mathrm{C}}_4}}={\displaystyle \frac{1+6\cdot 4}{\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{{\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_4}{{}_{10}{\mathrm{C}}_4}}+{\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_1\cdot {}_4{\mathrm{C}}_1}{{}_{10}{\mathrm{C}}_4}}}& ={\displaystyle \frac{25}{10\cdot 3\cdot 7}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{2\cdot 3\cdot 7}}\end{array}$$

$\phantom{{\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_4}{{}_{10}{\mathrm{C}}_4}}+{\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_1\cdot {}_4{\mathrm{C}}_1}{{}_{10}{\mathrm{C}}_4}}}={\displaystyle \frac{5}{42}}$
だ。

これを全体事象の$1$から引いて、求める確率は
$1-{\displaystyle \frac{5}{42}}={\displaystyle \frac{37}{42}}$
である。

解答シ：３, ス：７, セ：４, ソ：２

ここで、条件付き確率の復習をすると、

復習

事象$A$が起こる確率を$P(A)$，事象$A$と事象$B$の両方が起こる確率を$P(A\cap B)$とするとき、
$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_A(B)$は、
$P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$式Ｂ
である。

だった。

今回、復習の事象$A$にあたるのは、４回目終了時にが２個以上取り出されている事象。
なので、シスセソより、
$P(A)={\displaystyle \frac{37}{42}}$式Ｃ
である。

また、事象$B$にあたるのは、①②がの事象。
このとき、３回目と４回目に取り出される玉が赤白どちらであっても、４回目終了時にはが２個以上出ていることになる。
なので、事象$B$であれば必ず事象$A$に含まれる。
つまり、事象$B$であれば必ず事象（$A\cap B$）である。

よって、アイより、
$$\begin{array}{rl}P(A\cap B)& =P(B)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{式}Ｄ\end{array}$$ である。

以上より、式Ｃ，式Ｄを式Ｂに代入して、求める条件付き確率$P_A(B)$は、
$$\begin{array}{rl}{P}_A(B)& ={\displaystyle \frac{\frac{1}{3}}{\frac{37}{42}}}\\ & ={\displaystyle \frac{42}{3\cdot 37}}\\ & ={\displaystyle \frac{14}{37}}\end{array}$$ となる。

解答タ：１, チ：４, ツ：３, テ：７

タチツテと同じように考えよう。

復習の事象$A$にあたるのは、タチツテのときと同じで、４回目終了時にが２個以上取り出されている事象だ。

これは、シスセソより、
$P(A)={\displaystyle \frac{37}{42}}$式Ｃ
だった。

事象$B$にあたるのは⑨⑩がの事象。
なので、$(A\cap B)$は図Ｃの事象である。

図Ｂの事象の確率$P(A\cap B)$を求める。
いっぺんに考えると混乱するから、１ステップずつ考えよう。

まず、事象$B$が起こる確率から。
事象$B$の確率は$p_9$なので、クケより
${\displaystyle \frac{1}{3}}$式Ｅ
だ。

事象$B$が起こったとき、のうち２個は⑨⑩の位置なので、残りの玉は
４個 ４個 の合計８個。
次に求めるのは、この８個を一列に並べたときに①②③④のうち２個以上がである確率だ。

今回も、シスセソのときと同じように余事象を使うと、①②③④が
なし，４個 １個，３個 の２つの場合の確率を求めて、$1$から引けばよい。

それぞれの確率は、
なし，４個のとき
${\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_4}{{}_8{\mathrm{C}}_4}}$ １個，３個のとき
${\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_1\cdot {}_4{\mathrm{C}}_3}{{}_8{\mathrm{C}}_4}}={\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_1\cdot {}_4{\mathrm{C}}_1}{{}_8{\mathrm{C}}_4}}$ とかける。

なので、余事象の確率は、この２つをたして$1$から引いて、
$1-({\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_4}{{}_8{\mathrm{C}}_4}}+{\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_1\cdot {}_4{\mathrm{C}}_1}{{}_8{\mathrm{C}}_4}})$

途中式

$$\begin{array}{rl}& =1-{\displaystyle \frac{1+4\cdot 4}{\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}}\\ & =1-{\displaystyle \frac{17}{2\cdot 7\cdot 5}}\\ & ={\displaystyle \frac{70-17}{2\cdot 7\cdot 5}}\end{array}$$

$={\displaystyle \frac{53}{2\cdot 7\cdot 5}}$式Ｆ
となる。

以上より、求める条件付き確率$P_A(B)$は、式Ｃ，式Ｇを式Ｂに代入して、

$P_A(B)={\displaystyle \frac{\frac{53}{3\cdot 2\cdot 7\cdot 5}}{\frac{37}{42}}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\$P_A(B)}& ={\displaystyle \frac{53\cdot 42}{3\cdot 2\cdot 7\cdot 5\cdot 37}}\\ & ={\displaystyle \frac{53}{5\cdot 37}}\end{array}$$

$\phantom{P_A(B)}={\displaystyle \frac{53}{185}}$

となる。

解答ト：５, ナ：３, ニ：１, ヌ：８, ネ：５

上の計算から、ノハヒは、式Ｌと式Ｑをたして、

${\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 5}{2\cdot 10\cdot 9\cdot 4\cdot 7\cdot 5}}+{\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 5}{6\cdot 10\cdot 3\cdot 4\cdot 7\cdot 5}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}& ={\displaystyle \frac{(8\cdot 7\cdot 5)}{2\cdot 9(10\cdot 4\cdot 7\cdot 5)}}+{\displaystyle \frac{(8\cdot 7\cdot 5)}{6\cdot 3(10\cdot 4\cdot 7\cdot 5)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2(8\cdot 7\cdot 5)}{2\cdot 9(10\cdot 4\cdot 7\cdot 5)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{9\cdot 5}}\end{array}$$

$={\displaystyle \frac{1}{45}}$

である。

解答ノ：１, ハ：４, ヒ：５