大学入試センター試験 2020年(令和２年) 追試数学ⅠＡ第１問 [1] 解説

解説

$(19 + 5 \sqrt{13}) (19 - 5 \sqrt{13})$
を展開すると
$\begin{aligned} 19^{2} - (5 \sqrt{13})^{2} & = 361 - 25 \cdot 13 \\ = 361 - 325 \\ = 36 \end{aligned}$ となる。

解答ア：３, イ：６

よって、
$0 < (19 + 5 \sqrt{13}) (19 - 5 \sqrt{13})$ 式Ａ
であることが分かる。

式Ａの青い部分は正。
青い部分と赤い部分をかけて正なので、赤い部分も正だ。
なので、
$0 < 19 - 5 \sqrt{13}$
である。

ここで

	$α = \sqrt{19 + 5 \sqrt{13}}$
	$β = \sqrt{19 - 5 \sqrt{13}}$

とおく。

このとき、

$α^{2} + β^{2} = {\sqrt{19 + 5 \sqrt{13}}}^{2} + {\sqrt{19 - 5 \sqrt{13}}}^{2}$

途中式

\begin{aligned} = 19 + 5 \sqrt{13} + 19 - 5 \sqrt{13} \\ = 19 + 19 \end{aligned}

= 38

式Ｂ

$α β = \sqrt{19 + 5 \sqrt{13}} \cdot \sqrt{19 - 5 \sqrt{13}}$

途中式

$= \sqrt{(19 + 5 \sqrt{13}) (19 - 5 \sqrt{13)}}$

アイより
$(19 + 5 \sqrt{13}) (19 - 5 \sqrt{13}) = 36$
なので、この式は
$α β = \sqrt{36}$

$= 6$ 式Ｃ

となる。

解答ウ：３, エ：８, オ：６

式Ｂ，式Ｃを使って、 $(α + β)^{2}$ ， $(α - β)^{2}$ を求める。

$(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}$
に式Ｂ，式Ｃを代入すると、
$\begin{aligned} (α + β)^{2} & = 38 + 2 \cdot 6 \\ = 50 式Ｄ \end{aligned}$

$(α - β)^{2} = α^{2} - 2 α β + β^{2}$
に式Ｂ，式Ｃを代入すると、
$\begin{aligned} (α - β)^{2} & = 38 - 2 \cdot 6 \\ = 26 式Ｅ \end{aligned}$

とかける。

解答カ：５, キ：０, ク：２, ケ：６

さらに、式Ｄ，式Ｅを使って、 $α$ ， $β$ を求める。

式Ｄの両辺の平方根をとると
$\begin{aligned} α + β & = \pm \sqrt{50} \\ = \pm 5 \sqrt{2} \end{aligned}$ だけど、 $0 < α + β$ なので、
$α + β = 5 \sqrt{2}$ 式Ｄ'

式Ｅの両辺の平方根をとると
$α - β = \pm \sqrt{26}$
だけど、 $β < α$ より $0 < α - β$ なので、
$α - β = \sqrt{26}$ 式Ｅ'

である。

式Ｄ'と式Ｅ'を辺々たすと、

	$α$	$+ β$	$=$	$5 \sqrt{2}$
$+)$	$α$	$- β$	$=$	$\sqrt{26}$
	$2 α$		$=$	$5 \sqrt{2} + \sqrt{26}$

となるので、
$α = \frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{26}}{2}$
であることが分かる。

また、式Ｄ'から式Ｅ'を辺々引くと、

	$α$	$+ β$	$=$	$5 \sqrt{2}$
$-)$	$α$	$- β$	$=$	$\sqrt{26}$
		$2 β$	$=$	$5 \sqrt{2} - \sqrt{26}$

となるので、
$β = \frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{26}}{2}$
であることが分かる。

解答コ：５, サ：２, シ：２, ス：６, セ：２

別解

コサシスセの部分は、
$α = \sqrt{19 + 5 \sqrt{13}}$
の２重根号をはずして求めることもできる。

２重根号の計算の復習をすると、

復習

$0 < b < a$ のとき、
$\sqrt{(a + b) \pm 2 \sqrt{a b}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$

だった。

$α = \sqrt{19 + 5 \sqrt{13}}$
を復習の形にしよう。
つまり、
$\sqrt{13}$ の係数の $5$ を $2$ にする。

まず、邪魔な $5$ を根号の中に入れる。
$\begin{aligned} α & = \sqrt{19 + 5 \sqrt{13}} \\ = \sqrt{19 + \sqrt{5^{2} \cdot 13}} 式Ｆ \end{aligned}$

さらに、この式の右辺に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけると。
$\begin{aligned} α & = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{19 + \sqrt{5^{2} \cdot 13}}}{\sqrt{2}} \\ = \frac{\sqrt{2 \cdot 19 + 2 \sqrt{5^{2} \cdot 13}}}{\sqrt{2}} \\ = \frac{\sqrt{38 + 2 \sqrt{5^{2} \cdot 13}}}{\sqrt{2}} 式Ｇ \end{aligned}$ となる。

この分子の２重根号を、復習の考え方を使って計算する。
$\sqrt{38 + 2 \sqrt{5^{2} \cdot 13}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
とおくと、復習より

	$a + b = 38$ 式Ｈ1
	$a b = 5^{2} \cdot 13$ 式Ｈ2

とかける。

$b < a$ の範囲で考えると、式Ｈ2を満たす自然数 $a$ ， $b$ の組は、
$(a, b) = (5^{2} \cdot 13, 1)$ ， $(5 \cdot 13, 5)$ ， $(5^{2}, 13)$
の３通り。

このうち、式Ｈ1にあてはまるのは
$(a, b) = (5^{2}, 13)$
だ。

以上より、式Ｇは
$α = \frac{\sqrt{25} + \sqrt{13}}{\sqrt{2}}$

途中式

= \frac{5 + \sqrt{13}}{\sqrt{2}}

分母を有理化して、

= \frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{26}}{2}

となる。

解答コ：５, サ：２, シ：２, ス：６, セ：２

アドバイス

式Ｆの段階で、２重根号の中を展開して
$α = \sqrt{19 + \sqrt{325}}$
としてしまうと、かけて $325$ になる $a$ ， $b$ を見つけるはめになって大変だ。
「とりあえず展開」は絶対にやめよう。

アドバイス

上の解説では、式Ｆの右辺に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけた。
必然的に分母は $\sqrt{2}$ になるから、あとで有理化しないといけない。

それを見越して、式Ｆの右辺に最初から $\frac{2}{2}$ をかけるという方法もある。
この場合、式Ｆ以降は次のような計算になる。

式Ｆの右辺に $\frac{2}{2}$ をかけて、
$\begin{aligned} α & = \frac{2 \sqrt{19 + \sqrt{5^{2} \cdot 13}}}{2} 式Ｉ \\ = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 19 + 2 \sqrt{5^{2} \cdot 13}}}{2} 式Ｉ^{'} \\ = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{38 + 2 \sqrt{5^{2} \cdot 13}}}{2} \end{aligned}$ 以下省略

ポイントは、式Ｉから式Ｉ'の変形で、 $2$ を ${\sqrt{2}}^{2}$ と考えて、 $\sqrt{2}$ をひとつだけ根号の中に入れること。
$2$ 全部を入れてしまうと、式Ｉ'は
$\begin{aligned} α & = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 19 + 2^{2} \sqrt{5^{2} \cdot 13}}}{2} \\ = \frac{\sqrt{76 + 2 \sqrt{2 \cdot 5^{2} \cdot 13}}}{2} \end{aligned}$ より、復習の式に当てはめると

	$a + b = 76$
	$a b = 2 \cdot 5^{2} \cdot 13$ 式Ｊ

となって、式Ｊを満たす $(a, b)$ の組が増えてしまい計算が面倒になってしまう。

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