大学入試センター試験 2020年(令和２年) 追試数学ⅠＡ第１問 [3] 解説

(1)

$y = f (x)$ は下に凸の放物線だから、最小値は頂点の $y$ 座標だ。
なので、頂点の座標を求めよう。

$\begin{aligned} y & = f (x) \\ = (x - a) (x - 4) + 4 式Ａ \end{aligned}$ を展開してから平方完成する。

$y = (x - a) (x - 4) + 4$
を展開して、
$y = x^{2} - (a + 4) x + 4 a + 4$

これを平方完成すると
$y = {(x - \frac{a + 4}{2})}^{2} - {(\frac{a + 4}{2})}^{2} + 4 a + 4$

途中式

\begin{aligned} = {(x - \frac{a + 4}{2})}^{2} - (\frac{a^{2} + 8 a + 16}{4}) \\ + 4 a + 4 \\ = {(x - \frac{a + 4}{2})}^{2} - \frac{a^{2}}{4} - 2 a - 4 + 4 a + 4 \end{aligned}

= {(x - \frac{a + 4}{2})}^{2} - \frac{a^{2}}{4} + 2 a

となる。

よって、 $y = f (x)$ の頂点の座標は
$(\frac{a + 4}{2}, - \frac{a^{2}}{4} + 2 a)$
とかける。

この頂点の $y$ 座標が最大値だ。
問題文のマスに合うように変形して、最大値は
$\frac{- 1 a^{2}}{4} + 2 a$
である。

解答ト：－, ナ：１, ニ：４, ヌ：２

別解

これだけだと面白くないから、ちょっと違う考え方も紹介しておく。

式Ａは、
$y = (x - a) (x - 4)$ 式Ｂ
を $y$ 軸方向に $4$ 平行移動したもの。
なので、式Ａのグラフと式Ｂのグラフの軸は等しい。

式Ｂのグラフは
$(a, 0), (4, 0)$
で $x$ 軸と交わるから、軸はこの２点の中点を通る。

よって、軸の方程式は
$x = \frac{a + 4}{2}$
とかける。

以上より、式Ａのグラフの頂点の $x$ 座標は
$\frac{a + 4}{2}$ 式Ｃ
である。

説明は長くなってしまったけど、この考え方を使うと軸が一瞬で求められる。
いろいろな解き方ができることは強みになるから、こういう考え方も知っておいてほしい。

頂点の $x$ 座標が分かったので、これを $y = f (x)$ に代入して $y$ 座標を求める。

式Ｃを式Ａに代入して、
$y = (\frac{a + 4}{2} - a) (\frac{a + 4}{2} - 4) + 4$

途中式

これを計算して、頂点の

y

座標は

\begin{aligned} y & = (- \frac{a}{2} + 2) (\frac{a}{2} - 2) + 4 \\ = - {(\frac{a}{2} - 2)}^{2} + 4 \\ = - \frac{a^{2}}{4} + 2 a - 4 + 4 \end{aligned}

= - \frac{a^{2}}{4} + 2 a

となる。

よって、 $y = f (x)$ の最大値は
$\frac{- 1 a^{2}}{4} + 2 a$
である。

解答ト：－, ナ：１, ニ：４, ヌ：２

(2)

アドバイス

次は、定義域が
$a - 2 ≦ x ≦ a + 2$
のときの、 $y = f (x)$ の最大最小の問題だ。

この問題では、
グラフの軸は $x = \frac{a + 4}{2}$ 定義域は $a - 2 ≦ x ≦ a + 2$ なので、軸と定義域の両方が移動する。

軸と定義域の両方が移動する二次関数の最大最小の問題は、見たことがないかも知れない。
私の記憶にある限り、センター試験でも過去に出たことがない。

けれど、大丈夫。
センター試験は、簡単な問題を難しく見せるのが得意なので、驚く必要はない。
軸や定義域の片方だけが移動する問題と同じように解こう。

まず、最大値から。

$y = f (x)$ のグラフは下に凸。
定義域の中央は $x = a$ なので、最大値は表Ａのように３通りに場合分けできる。

表の固定

場合分けＡ	場合分けＢ	場合分けＣ

$a <$ 軸のとき	軸 $= a$ のとき	軸 $< a$ のとき

場合分けＡのとき

この場合は
$a <$ 軸
なので、

途中式

a < \frac{a + 4}{2}

より

2 a < a + 4

a < 4

のとき。

問題文より
$4 ≦ a$
なので、場合分けＡは不適。

場合分けＢのとき

この場合は
軸 $= a$
なので、

途中式

\frac{a + 4}{2} = a

より

a + 4 = 2 a

a = 4

のとき。

このとき、最大値は表Ａの赤い点なので、定義域の両端だ。
右端でも左端でもいいんだけど、今は右端の $x = a + 2$ を使うことにする。

$f (x)$ に $x = a + 2$ を代入して、最大値は
${(a + 2) - a} {(a + 2) - 4} + 4$

途中式

\begin{aligned} = 2 (a - 2) + 4 \\ = 2 a - 4 + 4 \end{aligned}

= 2 a

となる。

場合分けＣのとき

この場合は
軸 $< a$
なので、

途中式

\frac{a + 4}{2} < a

より

a + 4 < 2 a

4 < a

のとき。

このとき、最大値は表Ａの赤い点なので、定義域の右端だ。
パターンＢでの計算をそのまま使って、最大値は
$2 a$
となる。

以上より、 $y = f (x)$ の最大値は、場合分けＢ，Ｃともに
$2 a$
である。

解答ネ：２

それから、最小値。

定義域の両端は $a - 2$ と $a + 2$ なので、最小値も表Ｂのように３通りに場合分けできる。

表の固定

場合分けＤ	場合分けＥ	場合分けＦ

$a + 2 <$ 軸のとき	$a - 2 ≦$ 軸 $≦ a + 2$ のとき	軸 $< a - 2$ のとき

場合分けＤのとき

この場合は
$a + 2 <$ 軸
なので

途中式

a + 2 < \frac{a + 4}{2}

より

2 a + 4 < a + 4

a < 0

のとき。

問題文より
$4 ≦ a$
なので、場合分けＤは不適。

場合分けＥのとき

この場合は
$a - 2 ≦$ 軸 $≦ a + 2$
なので

途中式

a - 2 ≦ \frac{a + 4}{2} ≦ a + 2

2 a - 4 ≦ a + 4 ≦ 2 a + 4

各辺に

- 2 a - 4

をたして、

- 8 ≦ - a ≦ 0

各辺に

- 1

をかけて

0 ≦ a ≦ 8

のとき。

問題文より
$4 ≦ a$
なので、これとあわせて
$4 ≦ a ≦ 8$
のときとしておこう。

このとき、最小値は表Ｂの青い点なので、頂点の $y$ 座標だ。
これは、(1)より
$- \frac{a^{2}}{4} + 2 a$
である。

解答ノ：８

場合分けＦのとき

この場合は
軸 $≦ a - 2$
なので

途中式

\frac{a + 4}{2} < a - 2

より

a + 4 < 2 a - 4

8 < a

のとき。

このとき、最小値は表Ｂの青い点なので、定義域の左端（ $x = a - 2$ のとき）だ。

$f (x)$ に $x = a - 2$ を代入して、最小値は
${(a - 2) - a} {(a - 2) - 4} + 4$

途中式

\begin{aligned} = - 2 (a - 6) + 4 \\ = - 2 a + 12 + 4 \end{aligned}

= - 2 a + 16

である。

解答ハ：－, ヒ：２, フ：１, ヘ：６

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