突然、久しぶりに見る微分の定義の問題だ。

復習

微分の定義の式は、
${\displaystyle f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$
だった

けれど、これを忘れてても、原理が分かっていたら問題の流れに乗れば解ける。

図Ａで、$x$が$a$から$a+h$まで変化するときの$f(x)$の平均変化率は、赤い線の傾き。
傾きは${\displaystyle \frac{x\text{の増加量}}{y\text{の増加量}}}$なので、
赤い線の傾き$={\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}}$
$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$だから、
$$\begin{array}{rl}\text{赤い線の傾き}& ={\displaystyle \frac{\frac{1}{2}(a+h{)}^2-\frac{1}{2}{a}^2}{h}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{(a+h{)}^2-a^2}{h}}\end{array}$$

アドバイス

このくらいの計算だと展開の方が早かったりするけど、もっとややこしい式だと因数分解の方が楽だ。なので、慣れるために因数分解で計算しておこう。

${\mathrm{A}}^2-{\mathrm{B}}^2=(\mathrm{A}+\mathrm{B})(\mathrm{A}-\mathrm{B})$なので、
$$\begin{array}{rl}\text{赤い線の傾き}& ={\displaystyle \frac{(a+h+a)(a+h-a)}{2h}}\\ & ={\displaystyle \frac{(2a+h)\cdot h}{2h}}\\ & ={\displaystyle \frac{2a+h}{2}}\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ となる。

解答ア：ａ, イ：２

ここで微分の原理を思いだそう。$h$が限りなく$0$に近づくときの赤い線の傾きが微分係数だった。だから、
${\displaystyle f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}(a+{\displaystyle \frac{h}{2}})=a}$
である。

解答ウ：０, エ：ａ

アドバイス

微分の定義の詳しい解説はこのページ参照。

ここからよく見る問題になった。

接線の方程式を求めるために、まず接線の傾きを出そう。
(1)より、放物線C上の点P$(a,{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2)$における接線の傾きは$a$。

傾きが$a$の直線を$(a,{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2)$に平行移動するので、$\ell$の式は、
$y-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2=a(x-a)$
$y=ax-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2$式Ｂ
である。

解答オ：ａ, カ：２

$\ell$と$x$軸との交点Qは、式Ｂに$y=0$を代入して、
$ax-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2=0$
$a(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}a)=0$
問題文から$0\ne a$なので、
$x-{\displaystyle \frac{1}{2}}a=0$
$$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{1}{2}}a\\ & ={\displaystyle \frac{a}{2}}\end{array}$$ より、
$({\displaystyle \frac{a}{2}},0)$
である。

解答キ：ａ, ク：２

直線$m$は直線$\ell$と垂直なので、傾き同士をかけると$-1$になるから、傾きが分かる。この傾きと通る点から、方程式を作ろう。

直線$\ell$の傾きは式Ｂより$a$なので、直線$m$の傾きを$k$とすると、
$ak=-1$
$k=-{\displaystyle \frac{1}{a}}$
となる。

$m$は傾き$-{\displaystyle \frac{1}{a}}$で点Q$({\displaystyle \frac{a}{2}},0)$を通る直線なので、$m$の式は
$y-0=-{\displaystyle \frac{1}{a}}(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}a)$
$y=-{\displaystyle \frac{1}{a}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$式Ｃ
である。

解答ケ：－, コ：１, サ：ａ, シ：１, ス：２

ここでいったん図を整理したいけど、先に点Ａの座標だけ求めておこう。
点Aは式Ｃの$y$切片なので、$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$。
また、原点を点O、点$(a,0)$を点B、直線$\ell$の$y$切片を点Cと名づけておく。
以上を整理したものが、図Ｃである。

図Ｃで、赤い三角形の面積が$S$。

$S$の求め方は何通りも考えられるが、ここでは$S=$台形OAPB$-($△OAQ$+$△BPQ$)$とする。

復習

台形の面積の公式を思い出すと、
台形の面積$={\displaystyle \frac{(\text{上底}+\text{下底})\times \text{高さ}}{2}}$

なので、

$$\begin{array}{rl}\text{台形}\mathrm{OAPB}& ={\displaystyle \frac{(\frac{1}{2}+\frac{a^2}{2})\times a}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{a(a^2+1)}{4}}\mathrm{式}Ｄ\end{array}$$

三角形の面積$={\displaystyle \frac{\text{底辺}\times \text{高さ}}{2}}$
より、
$\mathrm{△}\mathrm{OAQ}={\displaystyle \frac{\frac{a}{2}\times \frac{1}{2}}{2}}={\displaystyle \frac{a}{8}}$
$$\begin{array}{rl}\mathrm{△}\mathrm{BPQ}& ={\displaystyle \frac{(a-\frac{a}{2})\times \frac{a^2}{2}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{a^3}{8}}\end{array}$$

以上より、
$$\begin{array}{rl}S& ={\displaystyle \frac{a(a^2+1)}{4}}-({\displaystyle \frac{a}{8}}+{\displaystyle \frac{a^3}{8}})\\ & ={\displaystyle \frac{a(a^2+1)}{4}}-{\displaystyle \frac{a(a^2+1)}{8}}\\ & ={\displaystyle \frac{a(a^2+1)}{8}}\mathrm{式}Ｅ\end{array}$$ である。

解答セ：１, ソ：８

別解

AQ⊥PQなので、AQとPQを求めて底辺と高さにする。直球勝負な解き方をしても、この問題の場合はあまり面倒な計算にはならない。

三角形の面積$={\displaystyle \frac{\text{底辺}\times \text{高さ}}{2}}$なので、
$\begin{array}{rl}S={\displaystyle \frac{1}{2}}& \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}\\ & \times \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{a^2}{2}}\right)}^2}\end{array}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{S}& ={\displaystyle \frac{1}{2^3}}\sqrt{a^2+1}\sqrt{(a^2{)}^2+a^2}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2^3}}\sqrt{a^2+1}\sqrt{a^2(a^2+1)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2^3}}\sqrt{a^2+1}\times a\sqrt{a^2+1}\\ & ={\displaystyle \frac{a{\sqrt{a^2+1}}^2}{2^3}}\end{array}$$

$\phantom{S}={\displaystyle \frac{a(a^2+1)}{8}}$

解答セ：１, ソ：８

さらに、図Ｃで青い部分の面積が$T$。
$T$については、
解法１
直線APの式を求め、${\displaystyle {\int }_0^a(\text{直線}\mathrm{AP}-\text{放物線Ｃ})dx}$とする。 解法２
${\displaystyle {\int }_0^a(\text{放物線Ｃ})dx}$として図Ｃの黄色い部分の面積を求め、台形OAPBから引く。おすすめ などの方法が考えられる。
解法１の方が自然な発想かも知れないが、解法２の方が計算が楽。

次は$0<a$における$S-T$の値を調べよという。
まず$S-T$の式を求めよう。

以上、式Ｅ・式Ｈから、
$$\begin{array}{rl}S-T& ={\displaystyle \frac{a(a^2+1)}{8}}-{\displaystyle \frac{a(a^2+3)}{12}}\\ & ={\displaystyle \frac{3a(a^2+1)-2a(a^2+3)}{24}}\\ & ={\displaystyle \frac{a(3a^2+3-2a^2-6)}{24}}\\ & ={\displaystyle \frac{a(a^2-3)}{24}}\mathrm{式}Ｉ\end{array}$$ である。

解答テ：３, ト：２, ナ：４

$S-T>0$の範囲を求めるろというので、式Ｉより、
$0<{\displaystyle \frac{a(a^2-3)}{24}}$
$0<a(a^2-3)$
$a>0$だから、両辺を$a$で割れ、不等号の向きも変わらない。
$0<a^2-3$
$0<(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})$
$a<-\sqrt{3},\sqrt{3}<a$

これと$a>0$の重なる部分が答えなので、
$\sqrt{3}<a$
である。

解答ニ：３

最後に、$0<a$のときの$S-T$の最小値を出せという。
式Ｉを微分して増減表を書こう。

$S-T={\displaystyle \frac{1}{24}}(a^3-3a)$
$$\begin{array}{rl}(S-T{)}^{\prime }& ={\displaystyle \frac{1}{24}}(3a^2-3)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}}(a^2-1)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}}(a+1)(a-1)\end{array}$$

より、
$a=1$のとき
$(S-T{)}^{\prime }=0$
$$\begin{array}{rl}S-T& ={\displaystyle \frac{1}{24}}(1-3)\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{12}}\end{array}$$

以上から増減表を書くと、

$a$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$(S-T{)}^{\prime }$		$-$	$0$	$+$
$S-T$		$\searrow$	$-{\displaystyle \frac{1}{12}}$	$\nearrow$

増減表より、
$a=1$のとき最小値$-{\displaystyle \frac{1}{12}}$
である。

解答ヌ：１ ,ネ：－ ,ノ：１ ,ハ：１ ,ヒ：２