初めのうちは、単に計算をするだけの問題が続く。

160
余弦定理

図Ａで、余弦定理より、
${\mathrm{AC}}^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cos {120}^{\circ }$
${\mathrm{AC}}^2$$=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot (-\frac{1}{2})$
${\mathrm{AC}}^2$$=49$
$0<\mathrm{AC}$より
$\mathrm{AC}=7$

解答オ：７

149
三角比の拡張

$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\sin 120$°$={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

解答カ：３, キ：２

160
正弦定理

正弦定理より、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BCA}}=\frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}}$
なので、
${\displaystyle \frac{3}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BCA}}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{BCA}=\frac{3\sqrt{3}}{14}}$

解答ク：３, ケ：３, コ：１, サ：４

図Ｂで、点Ｐが線分ＢＤ上を動くとき、△$\mathrm{APC}$の外接円（青い円）の半径の範囲を求める問題である。
まず外接円の半径$R$を求めよう。

正弦定理より、
$2R={\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\sin \mathrm{C}}}$
$R={\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{2\sin \mathrm{C}}}$式Ａ
なので、${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{2\sin \mathrm{C}}}$の最大値・最小値を求めればよい。

$\mathrm{AP}$の値は変わるけど、図Ｂから、最大値は$3\sqrt{3}$なのは明らか。
なので、$R$の最大値$R_{max}$は、式Ａより
$R_{max}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2\sin \mathrm{C}}}$

28
繁分数式の計算

分数の割り算は、逆数のかけ算なので、
$R_{max}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{14}{3\sqrt{3}}}$
$R_{max}$$=7$

解答セ：７

説明の都合上最大値を先に求めた。
次は最小値だ。
APが最小になるときのPをP'とすると、図Ｃのように、P'は点AからCDにおろした垂線の足である。

ここから解法はいくつか考えられるけど、そのうちの次のふたつを解説する。 解法１おすすめ
△$\mathrm{APC}$において、${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{C}=\frac{{\mathrm{AP}}^{\prime }}{\mathrm{AC}}}$であることを利用する。 解法２
△$\mathrm{ABP}$が$\mathrm{\angle }\mathrm{B}=60$°の直角三角形であることを利用する。