説明のために、最初に名前をつけておく。

$x\sqrt{y^{3}}=a$式Ａ
$\sqrt[3]{x}y=b$式Ｂ

連立方程式を解くとは、文字の種類を減らすこと。式Ａ・式Ｂをそれぞれ変形して、$x,\ y$を消そう。

9
指数法則

式Ａを両辺２乗して、
$x^{2}y^{3}=a^{2}$式Ａ'

式Ｂを両辺３乗して、
$xy^{3}=b^{3}$式Ｂ'

$\displaystyle \frac{\text{式Ａ}'}{\text{式Ｂ}'}$より、
$\displaystyle \frac{x^{2}y^{3}}{xy^{3}}=\frac{a^{2}}{b^{3}}$
238
指数法則 左辺を約分して、
$x=\displaystyle \frac{a^{2}}{b^{3}}$式Ｃ
$x$$=a^{2}b^{-3}$
である。

解答ス：２, セ：－, ソ：３

$y$は、求めた$x$を式Ｂ'に代入してもよいけど、次のように別に求めてもたいした手間ではない。

$\displaystyle \frac{\text{式Ｂ}'}{\text{式Ａ}}$より、
$\displaystyle \frac{xy^{3}}{x\sqrt{y^{3}}}=\frac{b^{3}}{a}$
左辺を約分して、
$\displaystyle \sqrt{y^{3}}=\frac{b^{3}}{a}$
両辺２乗して、
$y^{3}=\displaystyle \frac{b^{6}}{a^{2}}$
$y=\displaystyle \frac{b^{2}}{a^{\frac{2}{3}}}$
$y$$=a^{-\frac{2}{3}}b^{2}$式Ｄ
となる。

解答タ：２, チ：－, ツ：２, テ：３

問題文のセソトナタニの行を見ると、$b$が消えている。なので、$b=2\sqrt[3]{a^{4}}$を代入して$b$を消そう。

式Ｃに$b=2\sqrt[3]{a^{4}}$を代入して、
$x=\displaystyle \frac{a^{2}}{\left(2\sqrt[3]{a^{4}}\right)^{3}}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a^{2}}{2^{3}a^{4}}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2^{3}a^{2}}$式Ｅ
$x$$=2^{-3}a^{-2}$
である。

解答ト：－, ナ：２

式Ｄに$b=2\sqrt[3]{a^{4}}$を代入して、
$y=a^{-\frac{2}{3}}\left(2\sqrt[3]{a^{4}}\right)^{2}$
$y$$=a^{-\frac{2}{3}}\cdot 2^{2}a^{\frac{8}{3}}$
$y$$=2^{2}a^{\left(-\frac{2}{3}+\frac{8}{3}\right)}$
$y$$=2^{2}a^{2}$式Ｆ
となる。

解答ニ：２

54
相加平均≧相乗平均を
利用した最大・最小

問題文より$0 \lt a$なので、式Eは、
$x=\displaystyle \frac{1}{2^{3}a^{2}} \gt 0$
式Fは、
$y=2^{2}a^{2} \gt 0$
だから、
$\left\{\begin{array}{l}
0 \lt x\\
0 \lt y
\end{array}\right.$
となる。なので、相加平均と相乗平均の関係が使える。

復習

相加平均と相乗平均の関係の式は、
$x+y\geqq 2\sqrt{xy}$
ただし、$\left\{\begin{array}{l}
0 \lt x\\
0 \lt y
\end{array}\right.$
だった。

これに式Ｅ・Ｆを代入して、
$x+y\geqq 2\sqrt{\frac{2^{2}a^{2}}{2^{3}a^{2}}}$
$x+y\displaystyle $$\displaystyle \geqq\frac{2}{\sqrt{2}}$
$x+y$$\geqq\sqrt{2}$
よって、$x+y$は最小値$\sqrt{2}$。

解答ヌ：２

復習

相加平均と相乗平均の関係で、最小値になるのは等号成立のとき。

つまり、$x=y$のとき。
なので、$x=y$となるときを求めよう。

$x=y$に式Ｅ・Ｆを代入して、
$\displaystyle \frac{1}{2^{3}a^{2}}=2^{2}a^{2}$
両辺に$a^{2}$をかけて$2^{2}$で割ると、
$\displaystyle \frac{1}{2^{5}}=a^{4}$
$0 \lt a$より、
$a=\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{2^{5}}}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2^{\frac{5}{4}}}$
$a$$=2^{-\frac{5}{4}}$
になる。

解答ネ：－, ノ：５, ハ：４