説明のために、最初に名前をつけておく。

$x\sqrt{y^3}=a$式Ａ
$\sqrt[3]{x}y=b$式Ｂ

連立方程式を解くとは、文字の種類を減らすこと。式Ａ・式Ｂをそれぞれ変形して、$x,y$を消そう。

9
指数法則

式Ａを両辺２乗して、
$x^2{y}^3=a^2$式Ａ'

式Ｂを両辺３乗して、
$x{y}^3=b^3$式Ｂ'

${\displaystyle \frac{{\text{式Ａ}}^{\prime }}{{\text{式Ｂ}}^{\prime }}}$より、
${\displaystyle \frac{x^2{y}^3}{x{y}^3}=\frac{a^2}{b^3}}$
238
指数法則 左辺を約分して、
$x={\displaystyle \frac{a^2}{b^3}}$式Ｃ
$x$$=a^2{b}^{-3}$
である。

解答ス：２, セ：－, ソ：３

$y$は、求めた$x$を式Ｂ'に代入してもよいけど、次のように別に求めてもたいした手間ではない。

${\displaystyle \frac{{\text{式Ｂ}}^{\prime }}{\text{式Ａ}}}$より、
${\displaystyle \frac{x{y}^3}{x\sqrt{y^3}}=\frac{b^3}{a}}$
左辺を約分して、
${\displaystyle \sqrt{y^3}=\frac{b^3}{a}}$
両辺２乗して、
$y^3={\displaystyle \frac{b^6}{a^2}}$
$y={\displaystyle \frac{b^2}{a^{\frac{2}{3}}}}$
$y$$=a^{-\frac{2}{3}}{b}^2$式Ｄ
となる。

解答タ：２, チ：－, ツ：２, テ：３

問題文のセソトナタニの行を見ると、$b$が消えている。なので、$b=2\sqrt[3]{a^4}$を代入して$b$を消そう。

式Ｃに$b=2\sqrt[3]{a^4}$を代入して、
$x={\displaystyle \frac{a^2}{{\left(2\sqrt[3]{a^4}\right)}^3}}$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{a^2}{2^3{a}^4}}$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2^3{a}^2}}$式Ｅ
$x$$=2^{-3}{a}^{-2}$
である。

解答ト：－, ナ：２

式Ｄに$b=2\sqrt[3]{a^4}$を代入して、
$y=a^{-\frac{2}{3}}{\left(2\sqrt[3]{a^4}\right)}^2$
$y$$=a^{-\frac{2}{3}}\cdot 2^2{a}^{\frac{8}{3}}$
$y$$=2^2{a}^{(-\frac{2}{3}+\frac{8}{3})}$
$y$$=2^2{a}^2$式Ｆ
となる。

解答ニ：２

54
相加平均≧相乗平均を
利用した最大・最小

問題文より$0<a$なので、式Eは、
$x={\displaystyle \frac{1}{2^3{a}^2}>0}$
式Fは、
$y=2^2{a}^2>0$
だから、
$\{\begin{array}{l}0<x\\ 0<y\end{array}$
となる。なので、相加平均と相乗平均の関係が使える。

復習

相加平均と相乗平均の関係の式は、
$x+y\geqq 2\sqrt{xy}$
ただし、$\{\begin{array}{l}0<x\\ 0<y\end{array}$
だった。

これに式Ｅ・Ｆを代入して、
$x+y\geqq 2\sqrt{\frac{2^2{a}^2}{2^3{a}^2}}$
$x+y{\displaystyle }$${\displaystyle \geqq \frac{2}{\sqrt{2}}}$
$x+y$$\geqq \sqrt{2}$
よって、$x+y$は最小値$\sqrt{2}$。

解答ヌ：２

復習

相加平均と相乗平均の関係で、最小値になるのは等号成立のとき。

つまり、$x=y$のとき。
なので、$x=y$となるときを求めよう。

$x=y$に式Ｅ・Ｆを代入して、
${\displaystyle \frac{1}{2^3{a}^2}=2^2{a}^2}$
両辺に$a^2$をかけて$2^2$で割ると、
${\displaystyle \frac{1}{2^5}=a^4}$
$0<a$より、
$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{2^5}}}$
$a{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2^{\frac{5}{4}}}}$
$a$$=2^{-\frac{5}{4}}$
になる。

解答ネ：－, ノ：５, ハ：４