問題文を図にすると、図Ａのようになる。

まず、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$を求めよう。
点Ｐは辺ＡＢを$2:1$に内分する点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{2+1}=\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}$式Ａ

解答ア：１, イ：３, ウ：２

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$は、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\vec{b},\ \vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}=-\vec{a}+\vec{b}$を
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=(1-t)\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}$に代入して、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$$=(1-t)\vec{b}+t(-\vec{a}+\vec{b})$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$$=-t\vec{a}+\vec{b}$式Ｂ

解答エ：－

次は内積である。

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\angle \mathrm{AOB}$
$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}$$\displaystyle =1\cdot 1\cdot\frac{1}{2}$
$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}$$\displaystyle =\frac{1}{2}$式Ｃ

解答オ：１, カ：２

さらに、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$⊥$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=0$式Ｄ

解答キ：０

以上から$t$を求める。

式Ｄに式Ａ・式Ｂを代入して、
$\displaystyle \frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}\cdot(-t\vec{a}+\vec{b})=0$
$(\vec{a}+2\vec{b})\cdot(-t\vec{a}+\vec{b})=0$
$-t\vec{a}\cdot\vec{a}+(-2t+1)\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{b}\cdot\vec{b}=0$
ここで、$\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}=\left|\vec{\alpha}\right|^{2}$なので、
$-t\left|\vec{a}\right|^{2}+(-2t+1)\vec{a}\cdot\vec{b}+2\left|\vec{b}\right|^{2}=0$

問題文より$\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=1$、式Ｃより$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}$なので、
$-t+\displaystyle \frac{-2t+1}{2}+2=0$
両辺２倍して
$-2t-2t+1+4=0$
$-4t=-5$
$t=\displaystyle \frac{5}{4}$式Ｅ
となる。

解答ク：５, ケ：４

次は$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|,\ \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|$だ。

式Ａより、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|=\left|\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}\right|$
両辺を２乗すると、$\left|\vec{\alpha}\right|^{2}=\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}$なので
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|^{2}=\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}\cdot\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{1}{9}\left(\left|\vec{a}\right|^{2}+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4\left|\vec{b}\right|^{2}\right)$
問題文より$\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=1$、式Ｃより$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}$なので、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{1}{9}\left(1^{2}+4\cdot\frac{1}{2}+4\cdot 1^{2}\right)$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{7}{9}$

$0 \lt \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|$なので、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|=\frac{\sqrt{7}}{3}$式Ｆ
である。

解答コ：７, サ：３

式Ｅを式Ｂに代入して
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=-\frac{5}{4}\vec{a}+\vec{b}$
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|=\left|-\frac{5}{4}\vec{a}+\vec{b}\right|$

両辺を２乗すると、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|^{2}=\left(-\frac{5}{4}\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\left(-\frac{5}{4}\vec{a}+\vec{b}\right)$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|^{2}$$\displaystyle =\left(\frac{5}{4}\right)^{2}\left|\vec{a}\right|^{2}-2\cdot\frac{5}{4}\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}+\left|\vec{b}\right|^{2}$

問題文より$\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=1$、式Ｃより$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}$なので、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|^{2}$$\displaystyle =\left(\frac{5}{4}\right)^{2}\cdot 1^{2}-2\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{2}+1^{2}$
通分して、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{5^{2}-5\cdot 4+4^{2}}{4^{2}}$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{21}{4^{2}}$
$0 \lt \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|$なので、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|=\frac{\sqrt{21}}{4}$式Ｇ
である。

解答シ：２, ス：１, セ：４

これでようやく三角形の面積の計算ができる。
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$⊥$\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$なので、$\displaystyle \frac{1}{2}$(底辺×高さ)より、
$S_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|\cdot\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|$

式Ｆ・式Ｇより$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|=\frac{\sqrt{7}}{3},\ \displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}\right|=\frac{\sqrt{21}}{4}$なので
$S_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{7}}{3}\cdot\frac{\sqrt{21}}{4}$
$S_{1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{7}}{3}\cdot\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}}{4}$
$S_{1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7\sqrt{3}}{24}$
である。

解答ソ：７, タ：３, チ：２, ツ：４

図Ｂに必要な情報を整理してみた。これを見ながら問題を解いてゆこう。

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}=r\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}$を使うために、まず$\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}$を求めよう。
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}=\frac{3\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}}{1+3}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\vec{b},\ \vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}=-\vec{a}+\vec{b}$なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}=\frac{3\vec{b}-\vec{a}+\vec{b}}{4}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}$$\displaystyle =\frac{-\vec{a}+4\vec{b}}{4}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}$$\displaystyle =-\frac{1}{4}\vec{a}+\vec{b}$

ここで、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}=r\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}$なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}=r\left(-\frac{1}{4}\vec{a}+\vec{b}\right)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}$$\displaystyle =-\frac{1}{4}r\vec{a}+r\vec{b}$式Ｈ

次は$\vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}=(1-s)\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}+s\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$の部分だ。

式Ａ・式Ｂ'より
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3},\ \displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=-\frac{5}{4}\vec{a}+\vec{b}$なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}=(1-s)\cdot\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}+s\cdot\left(-\frac{5}{4}\vec{a}+\vec{b}\right)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}$$\displaystyle =\frac{(1-s)\vec{a}}{3}+\frac{2(1-s)\vec{b}}{3}-\frac{5s}{4}\vec{a}+s\vec{b}$
通分して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}$$\displaystyle =\frac{4(1-s)\vec{a}-3\cdot 5s\vec{a}}{3\cdot 4}+\frac{2(1-s)\vec{b}+3s\vec{b}}{3}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}$$\displaystyle =\frac{(4-4s-15s)\vec{a}}{3\cdot 4}+\frac{(2-2s+3s)\vec{b}}{3}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}$$\displaystyle =\frac{4-19s}{3\cdot 4}\vec{a}+\frac{s+2}{3}\vec{b}$式Ｉ

式Ｈ=式Ｉ, $\vec{a}\neq\vec{0},\ \vec{b}\neq\vec{0},\ \vec{a}\nparallel\vec{b}$なので、
$\left\{\begin{array}{l}
-\frac{1}{4}r=\frac{4-19s}{3\cdot 4}\\
r=\frac{s+2}{3}
\end{array}\right.$
である。あとは連立方程式を解く。

下の式を上の式に代入して、
$-\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{s+2}{3}=\frac{4-19s}{3\cdot 4}$
両辺$3\cdot 4$倍して、
$-(s+2)=4-19s$
$18s=6$
$s=\displaystyle \frac{1}{3}$

これを下の式に代入して、
$r=\displaystyle \frac{\frac{1}{3}+2}{3}$
分母分子に３をかけて、
$r\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1+6}{9}$
$r\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7}{9}$式Ｊ

アドバイス

今回は質問されているから$r,\ s$両方計算したけれど、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}$を求めるだけなら$r,\ s$の片方が分かればよい。

解答テ：７, ト：９, ナ：１, ニ：３

以上より、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}$は式Ｊを式Ｈに代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{7}{9}\vec{a}+\frac{7}{9}\vec{b}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}$$\displaystyle =-\frac{7}{36}\vec{a}+\frac{7}{9}\vec{b}$

解答ヌ：－, ネ：７, ノ：３, ハ：６, ヒ：７, フ：９

さて、ここで問題文の
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}=r\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}=(1-s)\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}+s\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$
の意味を考えてみよう。
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}=r\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}$より、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}$は$\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}$の$r=\displaystyle \frac{7}{9}$倍、つまり
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}\right|:\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}\right|=\frac{7}{9}:1=7:9$
であることが分かる。

さらに
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{T}}=(1-s)\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}+s\vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}}$、$s=\displaystyle \frac{1}{3}$より、点Ｔは線分ＰＱを$\displaystyle \frac{1}{3}:1-\frac{1}{3}$に内分した点、つまり
$\displaystyle \mathrm{PT}:\mathrm{QT}=\frac{1}{3}:1-\frac{1}{3}=1:2$
よって、
$\mathrm{PT}:\mathrm{PQ}=1:3$
であることが分かる。

図Ｃに必要な情報だけまとめてみた。

問われているのは$S_{1}:S_{2}$なので、緑の三角形とピンクの三角形の面積比だ。
ここで、
△OPT$:$△OPR$=7:9$
なので、
△OPT:ピンクの三角形$=7:2$
だから、△OPTの面積を$S$とすると、ピンクの三角形の面積は$\displaystyle \frac{2}{7}S$となる。

また、
△OPT$:$緑の三角形$=1:3$
なので、△OPTの面積を$S$とすると、緑の三角形の面積は$3S$である。

以上より、
緑の三角形とピンクの三角形の面積比$S_{1}:S_{2}$は、
$S_{1}:S_{2}=3S:\displaystyle \frac{2}{7}S$
$S_{1}:S_{2}$$=21:2$
であることが分かる。

解答ヘ：２, ホ：１