問題文を図にすると、図Ａのようになる。

まず、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよう。
点Ｐは辺ＡＢを$2:1$に内分する点なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{2+1}=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}}$式Ａ

解答ア：１, イ：３, ウ：２

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に代入して、
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$$=(1-t)\overrightarrow{b}+t(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$$=-t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$式Ｂ

解答エ：－

次は内積である。

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}$
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}$${\displaystyle =1\cdot 1\cdot \frac{1}{2}}$
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}}$式Ｃ

解答オ：１, カ：２

さらに、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=0$式Ｄ

解答キ：０

以上から$t$を求める。

式Ｄに式Ａ・式Ｂを代入して、
${\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}\cdot (-t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=0}$
$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\cdot (-t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=0$
$-t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+(-2t+1)\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}=0$
ここで、$\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\alpha }={\left|\overrightarrow{\alpha }\right|}^2$なので、
$-t{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+(-2t+1)\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=0$

問題文より$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1$、式Ｃより${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{2}}$なので、
$-t+{\displaystyle \frac{-2t+1}{2}+2=0}$
両辺２倍して
$-2t-2t+1+4=0$
$-4t=-5$
$t={\displaystyle \frac{5}{4}}$式Ｅ
となる。

解答ク：５, ケ：４

次は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|,\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$だ。

式Ａより、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\left|\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}\right|$
両辺を２乗すると、${\left|\overrightarrow{\alpha }\right|}^2=\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\alpha }$なので
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}\cdot \frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2}$${\displaystyle =\frac{1}{9}({\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2)}$
問題文より$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1$、式Ｃより${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{2}}$なので、
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2}$${\displaystyle =\frac{1}{9}(1^2+4\cdot \frac{1}{2}+4\cdot 1^2)}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2}$${\displaystyle =\frac{7}{9}}$

$0<\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$なので、
${\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\frac{\sqrt{7}}{3}}$式Ｆ
である。

解答コ：７, サ：３

式Ｅを式Ｂに代入して
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{5}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=|-\frac{5}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$

両辺を２乗すると、
${\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|}^2=(-\frac{5}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (-\frac{5}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|}^2}$${\displaystyle ={\left(\frac{5}{4}\right)}^2{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-2\cdot \frac{5}{4}\cdot \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}$

問題文より$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1$、式Ｃより${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{2}}$なので、
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|}^2}$${\displaystyle ={\left(\frac{5}{4}\right)}^2\cdot 1^2-2\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{1}{2}+1^2}$
通分して、
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|}^2}$${\displaystyle =\frac{5^2-5\cdot 4+4^2}{4^2}}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|}^2}$${\displaystyle =\frac{21}{4^2}}$
$0<\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$なので、
${\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=\frac{\sqrt{21}}{4}}$式Ｇ
である。

解答シ：２, ス：１, セ：４

これでようやく三角形の面積の計算ができる。
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$なので、${\displaystyle \frac{1}{2}}$(底辺×高さ)より、
$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|}$

式Ｆ・式Ｇより${\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\frac{\sqrt{7}}{3},{\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=\frac{\sqrt{21}}{4}}}$なので
$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{7}}{3}\cdot \frac{\sqrt{21}}{4}}$
$S_1{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{7}}{3}\cdot \frac{\sqrt{7}\cdot \sqrt{3}}{4}}$
$S_1{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{7\sqrt{3}}{24}}$
である。

解答ソ：７, タ：３, チ：２, ツ：４

図Ｂに必要な情報を整理してみた。これを見ながら問題を解いてゆこう。

$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=r\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を使うために、まず$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を求めよう。
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{1+3}}$
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{4}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}}$${\displaystyle =\frac{-\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}}{4}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}}$${\displaystyle =-\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$

ここで、$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=r\overrightarrow{\mathrm{OR}}$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=r(-\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OT}}}$${\displaystyle =-\frac{1}{4}r\overrightarrow{a}+r\overrightarrow{b}}$式Ｈ

次は$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OP}}+s\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の部分だ。

式Ａ・式Ｂ'より
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3},{\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{5}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}}$なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OT}}=(1-s)\cdot \frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}+s\cdot (-\frac{5}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OT}}}$${\displaystyle =\frac{(1-s)\overrightarrow{a}}{3}+\frac{2(1-s)\overrightarrow{b}}{3}-\frac{5s}{4}\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}}$
通分して、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OT}}}$${\displaystyle =\frac{4(1-s)\overrightarrow{a}-3\cdot 5s\overrightarrow{a}}{3\cdot 4}+\frac{2(1-s)\overrightarrow{b}+3s\overrightarrow{b}}{3}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OT}}}$${\displaystyle =\frac{(4-4s-15s)\overrightarrow{a}}{3\cdot 4}+\frac{(2-2s+3s)\overrightarrow{b}}{3}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OT}}}$${\displaystyle =\frac{4-19s}{3\cdot 4}\overrightarrow{a}+\frac{s+2}{3}\overrightarrow{b}}$式Ｉ

式Ｈ=式Ｉ, $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0},\overrightarrow{a}\nparallel \overrightarrow{b}$なので、
$\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}r=\frac{4-19s}{3\cdot 4}\\ r=\frac{s+2}{3}\end{array}$
である。あとは連立方程式を解く。

下の式を上の式に代入して、
$-{\displaystyle \frac{1}{4}\cdot \frac{s+2}{3}=\frac{4-19s}{3\cdot 4}}$
両辺$3\cdot 4$倍して、
$-(s+2)=4-19s$
$18s=6$
$s={\displaystyle \frac{1}{3}}$

これを下の式に代入して、
$r={\displaystyle \frac{\frac{1}{3}+2}{3}}$
分母分子に３をかけて、
$r{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1+6}{9}}$
$r{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{7}{9}}$式Ｊ

アドバイス

今回は質問されているから$r,s$両方計算したけれど、$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を求めるだけなら$r,s$の片方が分かればよい。

解答テ：７, ト：９, ナ：１, ニ：３

以上より、$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$は式Ｊを式Ｈに代入して、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OT}}=-\frac{1}{4}\cdot \frac{7}{9}\overrightarrow{a}+\frac{7}{9}\overrightarrow{b}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OT}}}$${\displaystyle =-\frac{7}{36}\overrightarrow{a}+\frac{7}{9}\overrightarrow{b}}$

解答ヌ：－, ネ：７, ノ：３, ハ：６, ヒ：７, フ：９

さて、ここで問題文の
$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=r\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OP}}+s\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$
の意味を考えてみよう。
$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=r\overrightarrow{\mathrm{OR}}$より、$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の$r={\displaystyle \frac{7}{9}}$倍、つまり
${\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OT}}\right|:\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|=\frac{7}{9}:1=7:9}$
であることが分かる。

さらに
$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OP}}+s\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$、$s={\displaystyle \frac{1}{3}}$より、点Ｔは線分ＰＱを${\displaystyle \frac{1}{3}:1-\frac{1}{3}}$に内分した点、つまり
${\displaystyle \mathrm{PT}:\mathrm{QT}=\frac{1}{3}:1-\frac{1}{3}=1:2}$
よって、
$\mathrm{PT}:\mathrm{PQ}=1:3$
であることが分かる。

図Ｃに必要な情報だけまとめてみた。

問われているのは$S_1:S_2$なので、緑の三角形とピンクの三角形の面積比だ。
ここで、
△OPT$:$△OPR$=7:9$
なので、
△OPT:ピンクの三角形$=7:2$
だから、△OPTの面積を$S$とすると、ピンクの三角形の面積は${\displaystyle \frac{2}{7}S}$となる。

また、
△OPT$:$緑の三角形$=1:3$
なので、△OPTの面積を$S$とすると、緑の三角形の面積は$3S$である。

以上より、
緑の三角形とピンクの三角形の面積比$S_1:S_2$は、
$S_1:S_2=3S:{\displaystyle \frac{2}{7}S}$
$S_1:S_2$$=21:2$
であることが分かる。

解答ヘ：２, ホ：１