$\mathrm{CE}\cdot \mathrm{CB}$と、線分の長さのかけ算の形を聞かれているから、まず方べきの定理を考えよう。

図Ａで△$\mathrm{ABD}$の外接円に注目すると、方べきの定理より、
$\mathrm{CE}\cdot \mathrm{CB}=\mathrm{CA}\cdot \mathrm{CD}$式Ａ
$\mathrm{CE}\cdot \mathrm{CB}$$=5\cdot 2$
$\mathrm{CE}\cdot \mathrm{CB}$$=10$

解答ア：１, イ：０

$\mathrm{CB}=\sqrt{5}$なので、式Ａより
$(\mathrm{BE}+\sqrt{5})\cdot \sqrt{5}=10$
$\mathrm{BE}=\sqrt{5}$

解答ウ：５

点$\mathrm{B}$は$\mathrm{CE}$の中点だということが分かった。
なので、△$\mathrm{ACE}$の重心$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AB}$上にある。
で、重心で真っ先に思い出すのは、$2:1$だよね。
$\mathrm{AG}:\mathrm{GB}=2:1$なので、
${\displaystyle \mathrm{AG}=\frac{2}{3}\mathrm{AB}}$
${\displaystyle \mathrm{AG}}$${\displaystyle =\frac{10}{3}}$

解答エ：１, オ：０, カ：３

ここでいったん整理しよう。図Ａに、ここまでで分かったことを書き込むと、図Ｂのようになる。

キクは、辺の比率を分数の形で聞かれてるから、チェバかメネラウスだ。この場合は、△$\mathrm{CDE}$を直線$\mathrm{AB}$が斜めに切っているから、メネラウスを使おう。

△$\mathrm{CDE}$と直線$\mathrm{AB}$でメネラウスの定理を考えると、
${\displaystyle \frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{BC}}\cdot \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AD}}\cdot \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PE}}=1}$
これに分かっている値を代入して、
${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{5}{3}\cdot \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PE}}=1}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{EP}}=\frac{3}{5}}$①

解答キ：３ ,ク：５

問題文より△$\mathrm{ABC}$∽△$\mathrm{ECD}$であり、△$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形なので、
$\mathrm{DE}=\mathrm{CE}$
よって、
$\mathrm{DE}=2\sqrt{5}$②

解答ケ：２, コ：５

①より ${\displaystyle \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{EP}}=\frac{3}{5}}$ なので、
$\mathrm{EP}:\mathrm{DP}=5:3$
${\displaystyle \mathrm{EP}=\frac{5}{8}\mathrm{DE}}$
これに②を代入して、
${\displaystyle \mathrm{EP}=\frac{5}{8}\cdot 2\sqrt{5}}$
${\displaystyle \mathrm{EP}}$${\displaystyle =\frac{5\sqrt{5}}{4}}$
となる。

解答サ：５, シ：５, ス：４