大学入試センター試験 2015年(平成27年) 本試 数学ⅠＡ 第２問 [1] 解説

(1)

復習

60
逆・裏・対偶

復習から始めよう。
$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$の逆は、$\mathrm{A}\Leftarrow \mathrm{B}$
$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$裏は、$\overline{\mathrm{A}}\Rightarrow\overline{\mathrm{B}}$
$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$の対偶は、$\overline{\mathrm{A}}\Leftarrow\overline{\mathrm{B}}$
だった。

55
ド・モルガンの法則

よって$\left(p_{1}\cap p_{2}\right)\Rightarrow\left(q_{1}\cap q_{2}\right)$の対偶は、
$\overline{\left(q_{1}\cap q_{2}\right)}\Rightarrow\overline{\left(p_{1}\cap p_{2}\right)}$
ド・モルガンの法則を使って、
$\left(\overline{q_{1}}\cup\overline{q_{2}}\right)\Rightarrow\left(\overline{p_{1}}\cup\overline{p_{2}}\right)$

解答ア：１

(2)

30個くらいの数字だから、全部数えてみよう。いろいろ考えるより手を動かした方が早いかも。

344
素数・合成数
・素因数分解

$p_{1}$と$p_{2}$は、$p_{1}$を○、$p_{2}$を●とすると、

表Ａ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 ● ○ ○● ○● ○ ●
10 ○● ○ ● ○● ○
20 ● ○ ● ○●
54
共通部分・和集合

なので、$p_{1}\cap p_{2}$は、

表Ｂ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 ○ ○
10 ○ ○
20 ○

アドバイス

表Ａをつくるとき、$p_{1}$を書き込み、それより２小さい数を$p_{2}$だと考えると、29が$p_{2}$に含まれるのを見落としてしまう。このタイプの問題のときには、定義域（この問題の場合は30以下）の端付近に要注意である。

344
自然数についての
倍数の判定法 55
補集合

$\overline{q_{1}}$と$q_{2}$は、$\overline{q_{1}}$を○、$q_{2}$を●とすると、

表Ｃ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 ○ ○ ○ ○● ○ ○ ○ ○
10 ○● ○ ○ ○ ○ ○● ○ ○
20 ○ ○ ○● ○ ○ ○ ○ ● ○

なので、$\overline{q_{1}}\cap q_{2}$は、

表Ｄ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 ○
10 ○ ○
20 ○
54
包含関係 59
条件と集合

今は$p_{1}\cap p_{2}\Rightarrow\overline{q_{1}}\cap q_{2}$の反例を探しているので、表Ｂにあって表Ｄにない数字が答えだ。
よって、反例は$3,\ 29$である。

解答イ：３, ウ：２, エ：９