(1)定義に従って、$y=x^2+2x+3$の$x=1$における微分係数を求めなさい。 (2)定義に従って、$y=x^3+4$を微分しなさい。

$f(x)=x^2+2x+3$とおく。
求める微分係数を$f^{\prime }(1)$とすると、式Ａより、
$f^{\prime }(1)={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}$
$f^{\prime }(1){\displaystyle }$${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\{(1+h{)}^2+2(1+h)+3\}-(1^2+2\cdot 1+3)}{h}}$
$f^{\prime }(1){\displaystyle }$${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(1+2h+h^2+2+2h+3)-6}{h}}$
$f^{\prime }(1){\displaystyle }$${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{h^2+4h}{h}}$
$f^{\prime }(1){\displaystyle }$${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}(h+4)}$
$h\to 0$なので、$h$に$0$を代入して、(アドバイス参照)
$f^{\prime }(1)=4$
である。

解答$4$

$f(x)=x^3+4$とおく。
求める導関数を$y^{\prime }$とすると、式Ｂより、
$y^{\prime }={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$
$y^{\prime }{\displaystyle }$${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\{(x+h{)}^3+4\}-(x^3+4)}{h}}$
$y^{\prime }{\displaystyle }$${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h{)}^3-x^3}{h}}$
$y^{\prime }{\displaystyle }$${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\{(x+h)-x\}\{(x+h{)}^2+x(x+h)+x^2\}}{h}}$
$y^{\prime }{\displaystyle }$${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{h\{(x+h{)}^2+x(x+h)+x^2\}}{h}}$
$y^{\prime }{\displaystyle }$${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\{(x+h{)}^2+x(x+h)+x^2\}}$
$h\to 0$なので、$h$に$0$を代入して、(アドバイス参照)
$y^{\prime }=(x+0{)}^2+x(x+0)+x^2$
$y^{\prime }$$=3x^2$
となる。

解答$y^{\prime }=3x^2$