$756$を素因数分解して、$2^2\cdot 3^3\cdot 7$

解答ア：２, イ：３, ウ：７

素因数分解の結果、756は２を２個、３を３個、７を１個因数に持つ。その中から数字をいくつか取り出した積が約数である。

２の取り出しかたは、０個出す・１個出す・２個出す の３通り。
３の取り出しかたは、０個出す・１個出す・２個出す・３個出す の４通り。
７の取り出しかたは、０個出す・１個出す の２通り。
よって、正の約数の個数は
$3\times 4\times 2=24$
より、24個。

解答エ：２, オ：４

$\sqrt{am}$が自然数になるためには、$am$が自然数の２乗にならなければならない。言い換えると、$am={\alpha }^p\cdot {\beta }^q\cdot {\gamma }^r\cdots$と素因数分解されて、指数部分$p,q,r,\cdots$が偶数にならないといけない。

(1)より$a=2^2\cdot 3^3\cdot 7$なので、$3$と$7$の指数部分が奇数。これを偶数にすればよいから、
$m=3\cdot 7=21$
である。

解答カ：２, キ：１

$m=3\cdot 7k^2$とすると、
$\sqrt{am}=\sqrt{2^2\cdot 3^3\cdot 7\times 3\cdot 7k^2}$
$\sqrt{am}$$=\sqrt{(2\cdot 3^2\cdot 7k{)}^2}$
$k$は自然数なので、この式の$2\cdot 3^2\cdot 7k$の部分は負ではないから、
$\sqrt{am}$$=2\cdot 3^2\cdot 7k$
$\sqrt{am}$$=126k$
となる。

解答ク：１, ケ：２, コ：６

一次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

$126k-11\ell =1$式Ａ
を解く。

$k$と$\ell$の係数の$126$と$11$でユークリッドの互除法を行うと、
$126÷11=11\dots 5$式Ｂ1
$11÷5=2\dots 1$式Ｂ2

これを「＝余り」の形に変形して、
$126-11\cdot 11=5$式Ｂ1'
$11-5\cdot 2=1$式Ｂ2'

式Ｂ2'に式Ｂ1'を代入して、
$11-(126-11\cdot 11)\cdot 2=1$
$11-126\cdot 2+11\cdot 22=1$
$126\cdot (-2)+11\cdot 23=1$
式Ａの係数に符号をあわせて、
$126\cdot (-2)-11\cdot (-23)=1$式Ｃ
ができる。

式Ａから式Ｃを辺々引くと、

	$126k$	$-11\ell$	$=$	$1$
$-)$	$126\cdot (-2)$	$-11\cdot (-23)$	$=$	$1$
	$126(k+2)$	$-11(\ell +23)$	$=$	$0$

となるから、
$126(k+2)=11(\ell +23)$式Ｄ
とかける。

ここで、$126$と$11$は互いに素なので、式Ｄが成り立つためには、$n$を整数として
$\{\begin{array}{l}k+2=11n\\ \ell +23=126n\end{array}$
より、
$\{\begin{array}{l}k=11n-2\\ \ell =126n-23\end{array}$式Ｅ
でなければならない。

問題文より$k$は自然数。
よって、式Ｅより、
$0<11n-2$
${\displaystyle \frac{2}{11}<n}$
となるので、$n$の範囲は
$1\leqq n$
だ。

$n$がこの範囲のとき、$k$が最小となる解の組を探す。
式Ｅより、
$k=11n-2$
なので、$k$が最小になるのは$n$が最小のとき。
よって、式Ｅに$n=1$を代入して、
$k=11\cdot 1-2$
$k$$=9$
$\ell =126\cdot 1-23$
$\ell$$=103$
が求める解である。

解答サ：９, シ：１, ス：０, セ：３

(2)より、$m=3\cdot 7k^2$とおくと、$\sqrt{am}=126k$
(3)より、$126k-11\ell =1$を満たす最小の$k$は$9$
なので、
$\sqrt{am}-11\ell =1$を満たす最小の$k$は
$k=9$
このときの$m$は、$k=9$を$m=3\cdot 7k^2$に代入して、
$m=3\cdot 7\cdot 9^2$
$m$$=1701$
である。

解答ソ：１, タ：７, チ：０, ツ：１