まず$b_{n+4}$と$b_n$の二項間漸化式を作るようだけど、何だかよく分からないと思う。
でも、問題には①を「繰り返し用いる」と書いてあるし、カの漸化式には$a_{n+3}$とか$a_{n+2}$とか$a_{n+1}$とか$a_n$とかが入っている。
なので、①の$n$に$n+3$とか$n+2$とか$n+1$を代入してみたら何とかなるんじゃないかと予想がつく。
さっそくやってみよう。

①の$n$に$n+1,n+2,n+3$をそれぞれ代入して、
$b_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n{b}_n}{4}}$
$b_{n+2}={\displaystyle \frac{a_{n+1}{b}_{n+1}}{4}}$
$b_{n+3}={\displaystyle \frac{a_{n+2}{b}_{n+2}}{4}}$
$b_{n+4}={\displaystyle \frac{a_{n+3}{b}_{n+3}}{4}}$

以上の式だけど、下の式の$b_{n+?}$に上の式を代入してゆくと、
$b_{n+4}={\displaystyle \frac{a_{n+3}\cdot {\displaystyle \frac{a_{n+2}\cdot {\displaystyle \frac{a_{n+1}\cdot {\displaystyle \frac{a_n{b}_n}{4}}}{4}}}{4}}}{4}}$
となる。

とんでもない式ができた感じだけど、そうでもない。分母と分子に４をかけて、複分数を消してゆくと、
$b_{n+4}={\displaystyle \frac{a_{n+3}\cdot {\displaystyle \frac{a_{n+2}\cdot {\displaystyle \frac{a_{n+1}\cdot {\displaystyle \frac{a_n{b}_n}{4}}}{4}}\times {\displaystyle \frac{4}{4}}}{4}}}{4}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{b_{n+4}}& ={\displaystyle \frac{a_{n+3}\cdot {\displaystyle \frac{a_{n+2}\cdot {\displaystyle \frac{a_{n+1}\cdot a_n{b}_n}{4^2}}}{4}}}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{a_{n+3}\cdot {\displaystyle \frac{a_{n+2}\cdot {\displaystyle \frac{a_{n+1}\cdot a_n{b}_n}{4^2}}}{4}}\times {\displaystyle \frac{4^2}{4^2}}}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{a_{n+3}\cdot {\displaystyle \frac{a_{n+2}\cdot a_{n+1}\cdot a_n{b}_n}{4^3}}}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{a_{n+3}\cdot {\displaystyle \frac{a_{n+2}\cdot a_{n+1}\cdot a_n{b}_n}{4^3}}}{4}}\times {\displaystyle \frac{4^3}{4^3}}\\ & ={\displaystyle \frac{a_{n+3}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+1}\cdot a_n\cdot b_n}{4^4}}\end{array}$$

$\phantom{b_{n+4}}={\displaystyle \frac{a_{n+3}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+1}\cdot a_n}{2^8}}{b}_n$式Ａ
となる。

解答カ：８

また、(1)で、数列$\{a_n\}$は、$2,4,8,6$ のくり返しだということが分かっているので、連続する４項の積は
$$\begin{array}{rl}2\times 4\times 8\times 6& =2\times 2^2\times 2^3\times 2\cdot 3\\ & =2^7\cdot 3\end{array}$$ より、
$a_{n+3}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+1}\cdot a_n=2^7\cdot 3$式Ｂ

アドバイス

間違っても$2\times 4\times 8\times 6$を展開して、そのあと素因数分解をしてはいけない。かけ算をして、そのあと同じ数で割ってゆくわけで、時間のムダでもあるし、計算間違いのリスクも増える。くれぐれも数学の計算の基本はまず因数分解である。

解答キ：７

この式Ｂを式Ａに代入して、
$$\begin{array}{rl}{b}_{n+4}& ={\displaystyle \frac{2^7\cdot 3}{2^8}}{b}_n\\ & ={\displaystyle \frac{3}{2}}{b}_n\end{array}$$ になる。

解答ク：３, ケ：２

これを表にすると、

表Ａ

$b_1$	―	$\times {\displaystyle \frac{3}{2}}$	→	$b_5$	―	$\times {\displaystyle \frac{3}{2}}$	→	$b_9$	―
	$b_2$	―	$\times {\displaystyle \frac{3}{2}}$	→	$b_6$	―	$\times {\displaystyle \frac{3}{2}}$	→	$b_{10}$
		$b_3$	―	$\times {\displaystyle \frac{3}{2}}$	→	$b_7$	―	$\times {\displaystyle \frac{3}{2}}$	→
			$b_4$	―	$\times {\displaystyle \frac{3}{2}}$	→	$b_8$	―	$\times {\displaystyle \frac{3}{2}}$

となる。

表Ａから、数列$\{b_n\}$は、４つの等比数列を混ぜたものだということが分かる。

ここまで理解したところで、問題の先を読む。

コサの式の$b_{4k-3}$を$c_k$とおくと、
$c_1=b_{4\cdot 1-3}=b_1$
$c_2=b_{4\cdot 2-3}=b_5$
$c_3=b_{4\cdot 3-3}=b_9$
となるから、緑の列の数列をさしていると分かる。
なので、等比数列の一般項の公式から、
$c_k=b_{4k-3}=b_1{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{k-1}$
問題文から$b_1=1$なので、
$c_k={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{k-1}$式Ｃ
となる。

解答コ：３, サ：２

シスの式の$b_{4k-2}$を$d_k$とおくと、上と同様に考えるとオレンジの数列であるのが分かるから、
$d_k=b_{4k-2}=b_2{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{k-1}$
①より
$b_2={\displaystyle \frac{a_1{b}_1}{4}}={\displaystyle \frac{2\cdot 1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
なので、
$d_k={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{k-1}$式Ｄ
である。

解答シ：１, ス；２

同じ考え方で、
$e_k=b_{4k-1}=b_3{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{k-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{k-1}$ 式Ｅ

解答セ：１, ソ：２

$f_k=b_{4k}=b_4{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{k-1}={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{k-1}$式Ｆ

以上をいったん表に整理しよう。

表Ｂ

	初項	第2項	第3項	…	第$n$項
$\{c_n\}=\{b_{4n-3}\}$	$1$	$b_5$	$b_9$	…	${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{n-1}$
$\{d_n)=\{b_{4n-2}\}$	$12$	$b_6$	$b_{10}$	…	${\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{n-1}$
$\{e_n\}=\{b_{4n-1}\}$	$12$	$b_7$	$b_{11}$	…	${\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{n-1}$
$\{f_n\}=[b_{4n}\}$	$1$	$b_8$	$b_{12}$	…	${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{n-1}$

アドバイス

ここでは数列に$c_n$とか$d_n$とか名前をつけまくっているけど、これは文章で説明する都合上であって、実際の試験のときにあんまり名前をつけるのは混乱のもとになるのでおすすめではない。

$S_{4m}$は$b_1$～$b_{4m}$の和なので、表Ｂの白い部分の和にあたる。

表Ｂを見ると、
解法１
ヨコの行の和をそれぞれ求め、それらをたして$S_{4m}$とする。 解法２
タテの列の和をそれぞれ求め、それらをたして$S_{4m}$とする。 の２つの解法が考えられる。

$T_{4m}$は$b_1$～$b_{4m}$の積なので、表Ｂの白い部分の積にあたる。
今度は問題文が解き方を指定しているので、流れに乗って解いてゆく。

表Ｂのそれぞれのタテの列の積を、数列$\{h_n\}$とする。

$h_n$は表Ｂ右端の列の積なので、公比の${\displaystyle \frac{3}{2}}$を$r$とすると、
$h_n=r^{n-1}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^{n-1}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^{n-1}\times r^{n-1}$
$h_n={\displaystyle \frac{1}{4}}{r}^{4(n-1)}$

解答ツ：４, テ：４

$T_{4n}$は表Ｂの白い部分の積なので、
$$\begin{array}{rl}{T}_{4m}& =h_1\times h_2\times h_3\times \cdots \times h_m\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}{r}^{4\cdot 0}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}{r}^{4\cdot 1}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}{r}^{4\cdot 2}\\ & \times \cdots \times {\displaystyle \frac{1}{4}}{r}^{4(m-1)}\\ & ={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^m\times \left(\begin{array}{rl}& r^{4\cdot 0}\times r^{4\cdot 1}\times r^{4\cdot 2}\\ & \times \cdots \times r^{4(m-1)}\end{array}\right)\end{array}$$ $A^{\alpha }\times A^{\beta }=A^{\alpha +\beta }$なので、
$T_{4m}={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^m\times r^{4\cdot 0+4\cdot 1+4\cdot 2+\cdots +4(m-1)}$

ここで、$r$の指数部分は、初項$0$、公差$4$、末項$4(m-1)$、項数$m$の等差数列なので、
$$\begin{array}{rl}{T}_{4m}& ={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^m\times r^{\frac{1}{2}m\{0+4(m-1)\}}\\ & ={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^m\times r^{2m(m-1)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4^m}}{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{2m^2-2m}\mathrm{式}Ｇ\end{array}$$ となる。

解答ト：２, ナ：２

また、$T_{10}$は表Ｂの青い枠の部分の積なので、
$T_{10}=T_{4\cdot 2}\times c_3\times d_3$式Ｈ
とかける。

ここで、公比の${\displaystyle \frac{3}{2}}$を$r$とすると、
式Ｇより、
$T_{4\cdot 2}={\displaystyle \frac{1}{4^2}}{r}^{2\cdot 2^2-2\cdot 2}={\displaystyle \frac{1}{4^2}}{r}^4={\displaystyle \frac{1}{2^4}}{r}^4$
表Ｂより、
$c_3=r^{3-1}=r^2$
$d_3={\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^{3-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2$
なので、式Ｈは
$$\begin{array}{rl}{T}_{10}& ={\displaystyle \frac{1}{2^4}}{r}^4\times r^2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2^5}}{r}^8\end{array}$$ $r={\displaystyle \frac{3}{2}}$なので、
$$\begin{array}{rl}{T}_{10}& ={\displaystyle \frac{1}{2^5}}\cdot {\displaystyle \frac{3^8}{2^8}}\\ & ={\displaystyle \frac{3^8}{2^{13}}}\end{array}$$ である。

解答ニ：８, ヌ：１, ネ：３