$C$の式を微分すると
$y'=2x+2$
なので、点$(a,a^{2}+2a-3)$における接線の傾きは
$2a+2$
である。
傾きが$2a+2$の直線が点$(a,a^{2}+2a-3)$を通るので、接線の方程式は
$y-(a^{2}+2a-3)=(2a+2)(x-a)$
$y=(2a+2)(x-a)+(a^{2}+2a-3)$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{y}&=(2a+2)x-(2a+2)a+(a^{2}+2a-3)\\ &=(2a+2)x-2a^{2}-2a+a^{2}+2a-3 \end{align} $$

$\phantom{y}=(2a+2)x-a^{2}-3$
である。

解答ア：２, イ：ａ, ウ：２, エ：２, オ：３

これに$a=0$を代入すると、
$y=2x-3$①
となる。

解答カ：２, キ：３

ここまでの結果をグラフにすると、図Ａができる。
図Ａ中の赤い部分の面積を求める。

面積$S$は、
$\displaystyle S=\int_{b}^{c}\{(x^{2}+2x-3)-(2x-3)\}\,dx$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{S}&=\int_{b}^{c}x^{2}\,dx\\ &=\left[\dfrac{1}{3}x^{3}\right]_{b}^{c} \end{align} $$

$\phantom{S}=\dfrac{1}{3}(c^{3}-b^{3})$式Ａ
である。

解答ク：３, ケ：ｃ, コ：３, サ：ｂ

アドバイス

今回は式が簡単なので、普通に積分した。
式に分数やら根号やら文字やらが含まれていて面倒なときは、図Ｂのオレンジの台形から青い部分を引くなどの方法を使った方が計算が楽になる。青い部分の面積を求めるときには、$\dfrac{1}{6}$公式が使える。詳細はこのページ参照。

図の固定

$b=-|t-1|-4$，$c=4t+1$とおく。

アドバイス

絶対値は面倒なので、一番に消そう。

復習

絶対値のはずし方は２種類あって、
場合分け ２乗する だった。

$b$の式の絶対値をはずしたいけれど、今回は２乗はムリ。なので、場合分けをして消そう。

$0\leqq t$なので、$b$の式は、
$t-1\leqq 0$つまり
$0\leqq t\leqq 1$のとき、
$b=-\{-(t-1)\}-4$
$b$$=t-1-4$
$b$$=t-5$
$0 \lt t-1$つまり
$1 \lt t$のとき、
$b=-(t-1)-4$
$b$$=-(t-1+4)$
$b$$=-(t+3)$
と書ける。

これと$c=4t+1$を式Ａに代入して、
$0\leqq t\leqq 1$のとき、
$S=\dfrac{1}{3}\{(4t+1)^{3}-(t-5)^{3}\}$式Ｂ
$1 \lt t$のとき、
$S=\dfrac{1}{3}\{(4t+1)^{3}+(t+3)^{3}\}$式Ｃ
である。

解答シ：４, ス：１, セ：５, ソ：３

アドバイス

式Ａでは$b^{3}$の前は-だけど、問題文中のソの式を見ると、$(t+$ソ$)^{3}$の前が$+$になっている。
このことから、$b$は$-(t+$ソ$)$だと考えられる。
そのため、$1 \lt t$のときの$b$を求めるときに
$b=-t-3$
とせずに
$b=-(t+3)$
とした。

次は$S$の増減を調べろという。

アドバイス

数Ⅲの範囲だと式Ｂや式Ｃをそのまま微分できるんだけど、数Ⅱだと$\{\}$内を展開しないといけない。
$\{\}$内は$A^{3}-B^{3}$の形なので因数分解できるけど、後で微分するから、因数分解した形じゃ使えない。なので、しかたないから展開する。
展開するのだけれど、下の式Ｄを見ると、係数に$3$が多い。しかも$()$の前に$\dfrac{1}{3}$がある。約分できるんじゃないかという予想から、$\times 3$の計算はしない。計算しちゃうと、あとでまた同じ$3$で割ることになる。無駄だし、計算間違いも招く。

$0\leqq t\leqq 1$のとき、式Ｂを展開して、
$$ \begin{align} S&=\dfrac{1}{3}\left[\begin{aligned}&\{(4t)^{3}+3(4t)^{2}+3(4t)+1\}\\&\qquad-(t^{3}-3\cdot 5t^{2}+3\cdot 5^{2}t-5^{3})\end{aligned}\right]\\ &=\dfrac{1}{3}\left(\begin{aligned}& 4^{3}t^{3}+3\cdot 4^{2}t^{2}+3\cdot 4t+1\\&\qquad-t^{3}+3\cdot 5t^{2}-3\cdot 5^{2}t+5^{3}\end{aligned}\right) \end{align} $$ 式Ｄ

途中式

$$ \begin{align} \phantom{S}&=\dfrac{1}{3}\left\{\begin{aligned}&(4^{3}-1)t^{3}+(3\cdot 4^{2}+3\cdot 5)t^{2}\\&\qquad+(3\cdot 4-3\cdot 5^{2})t+(1+5^{3})\end{aligned}\right\}\\ &=\dfrac{1}{3}\left\{\begin{aligned}& 63t^{3}+3(4^{2}+5)t^{2}\\&\qquad+3(4-5^{2})t+126\end{aligned}\right\}\\ &=\dfrac{1}{3}(3\cdot 21t^{3}+3\cdot 21t^{2}-3\cdot 21t+3\cdot 42)\\ &=21t^{3}+21t^{2}-21t+42 \end{align} $$

$\phantom{S}=21(t^{3}+t^{2}-t+2)$式Ｅ

アドバイス

この問題では、あとで$S$の値を出さないといけないので、定数項の$(1+5^{3})$の計算もした。
微分するだけでいいのなら、定数項の計算はしない。せっかく計算しても、微分すれば消えてしまう。

式Ｅを微分して、
$S'=21(3t^{2}+2t-1)$

$()$の中をさらに因数分解だ。
$S'=21(t+1)(3t-1)$
よって、
$t=-1,\dfrac{1}{3}$のときに$S'=0$

$0\leqq t\leqq 1$なので、この範囲で増減表を書くと、

表Ｃ

$t$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{1}{3}$	$\cdots$	$1$
$S'$		-	$0$	$+$
$S$		$\searrow$		$\nearrow$

となるので、最小値は
$t=\dfrac{1}{3}$
のとき。

解答タ：１, チ：３

$1 \lt t$のとき、式Ｃを展開して、
$S=\dfrac{1}{3}\left[\begin{aligned}&\{(4t)^{3}+3(4t)^{2}+3(4t)+1\}\\&\qquad+(t^{3}+3\cdot 3t^{2}+3\cdot 3^{2}t+3^{3})\end{aligned}\right]$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{S}&=\dfrac{1}{3}\left(\begin{aligned}& 4^{3}t^{3}+3\cdot 4^{2}t^{2}+3\cdot 4t+1\\&\hspace{40px}+t^{3}+3\cdot 3t^{2}+3\cdot 3^{2}t+3^{3}\end{aligned}\right)\\ &=\dfrac{1}{3}\left\{\begin{aligned}&(4^{3}+1)t^{3}+(3\cdot 4^{2}+3\cdot 3)t^{2}\\&\hspace{40px}+(3\cdot 4+3\cdot 3^{2})t+(1+3^{3})\end{aligned}\right\}\\ &=\dfrac{1}{3}\left\{\begin{aligned}& 65t^{3}+3(4^{2}+3)t^{2}\\&\hspace{40px}+3(4+3^{2})t+(1+3^{3})\end{aligned}\right\} \end{align} $$

$\phantom{S}=\dfrac{1}{3}\{65t^{3}+3\cdot 19t^{2}+3\cdot 13t+(1+3^{3})\}$
これを微分して、
$$ \begin{align} S'&=\dfrac{1}{3}(3\cdot 65t^{2}+2\cdot 3\cdot 19t+3\cdot 13)\\ &=65t^{2}+2\cdot 19t+13 \end{align} $$

この式は、判別式が
$D=(2\cdot 19)^{2}-4\cdot 65\cdot 13 \lt 0$
なので、$S'=0$にはならない。
$1 \lt t$の範囲で増減表を書くと、

表Ｄ

$t$	$1$	$\cdots$
$S'$		$+$
$S$		$\nearrow$

である。

解答ツ：２

表Ｃと表Ｄを合わせると、

表Ｅ

$t$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{1}{3}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$S'$		-	$0$	$+$		$+$
$S$		$\searrow$		$\nearrow$		$\nearrow$

となる。

よって、$S$が最小となるのは$t=\dfrac{1}{3}$のときで、最小値は式Ｅから計算だ。

$$ \begin{align} S&=21\cdot\left\{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}-\left(\dfrac{1}{3}\right)+2\right\}\\ &=\dfrac{21}{3^{3}}(1+3-3^{2}+2\cdot 3^{3})\\ &=\dfrac{7}{3^{2}}\cdot 49\\ &=\dfrac{343}{9} \end{align} $$ である。

解答テ：３, ト：４, ナ：３, ニ：９