図Ａの２本の赤い線で方べきの定理を使おう。
$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}=\mathrm{CP}\cdot \mathrm{DP}$
なので、
$\displaystyle \mathrm{BP}=\sqrt{10}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}$
$\displaystyle \mathrm{BP}$$\displaystyle =\frac{10}{5}$
$\mathrm{BP}$$=2$
である。

解答ア：２

また、△CAP（緑の三角形）は、
$\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AP}^{2}=\mathrm{CP}^{2}$
なので、$\angle \mathrm{CAP}=90^{\circ}$の直角三角形である。

解答イ：９, ウ：０

円周角が$90^{\circ}$なので、弦BCは円Oの直径である。
アより$\mathrm{BP}=2$なので、$\mathrm{AB}=3$であるから、△ABCは$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の直角二等辺三角形。
よって、
$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}:\mathrm{BC}=1:1:\sqrt{2}$
である。
よって、
$\mathrm{BC}=3\sqrt{2}$
であり、円Oの直径も$3\sqrt{2}$である。

解答エ：３, オ：２

また、緑色の三角形は$\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$の直角三角形だった。
よって、
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{PCA}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}$
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{PCA}$$\displaystyle =\frac{1}{3}$
となる。

解答カ：１, キ：３

図Ｂで、$\mathrm{PH}$⊥$\mathrm{BC}$なので、$\angle \mathrm{BHP}=90^{\circ}$
円周角が$90^{\circ}$なので、線分BPは△PHBの外接円の直径である。
よって、直径は$2$である。

解答ク：２

また、BCは円Oの直径なので、$\angle \mathrm{BDC}=90^{\circ}$
よって、
$\angle \mathrm{PHB}+\angle \mathrm{BDP}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
となる。

解答ケ：１, コ：８, サ：０

よって、点Dは△PHBの外接円上にある。

さらに、△ABCは$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の直角二等辺三角形なので、
$\angle \mathrm{ABC}=45^{\circ}$
である。
よって、△PHBも$\mathrm{HB}=\mathrm{HP}$の直角二等辺三角形だから、
$\angle \mathrm{BPH}=45^{\circ}$
となる。
$\angle \mathrm{BDH}$と$\angle \mathrm{BPH}$は同一の弧に対する円周角なので、$\angle \mathrm{BDH}$も$45^{\circ}$である。

解答シ：４, ス：５

図Cにおいて、同一の弧の円周角は等しいので、同じ色の角度は等しい。
よって、△BAEは$\mathrm{BA}=\mathrm{BE}$の直角二等辺三角形になる。
円周角が$90^{\circ}$なので、弦AEは円Oの直径であるから、AEとBCは点Oで交わる。

また、図Cより、△OABも$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$の直角二等辺三角形になるから、
$\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$
なので、
$\angle \mathrm{BOE}=90^{\circ}$
である。

解答セ：９, ソ：０

さらに、AEは円Oの直径なので、
$\mathrm{AE}=3\sqrt{2}$
である。

解答タ：３, チ：２

次は$\tan\angle \mathrm{PCH}$だ。
$\tan\angle \mathrm{PCH}$と言われると、つい図Ｄの赤い三角形の△PCHに目が行くけど、緑の三角形の方が２辺の長さが分かっていて使いやすいかも。
なので、ここでは緑の三角形の△BCDを使う。

△BCDは$\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$の直角三角形なので、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BCD}=\frac{\sqrt{10}+\frac{\sqrt{10}}{5}}{3\sqrt{2}}$

途中式

$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{\frac{6}{5}\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{6\sqrt{10}}{5\cdot 3\sqrt{2}}$

$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$1+\displaystyle \tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}$より、
$1+\displaystyle \tan^{2}\angle \mathrm{BCD}=\frac{1}{\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}}$
$\tan^{2}\angle \mathrm{BCD}=\left(\frac{5}{2\sqrt{5}}\right)^{2}-1$

途中式

$\displaystyle \tan^{2}\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{5^{2}}{2^{2}\cdot 5}-1$
$\displaystyle \tan^{2}\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{5}{2^{2}}-1$
$\displaystyle \tan^{2}\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{5}{2^{2}}-\frac{2^{2}}{2^{2}}$

$\displaystyle \tan^{2}\angle \mathrm{BCD}$$\displaystyle =\frac{1}{2^{2}}$
$0 \lt \tan\angle \mathrm{BCD}$なので、
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{BCD}=\frac{1}{2}$
である。

$\tan\angle \mathrm{PCH}$も同じ値で、
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{PCH}=\frac{1}{2}$
となる。

解答ツ：１, テ：２